Bedeutung des zweiten Fokus in Ellipsenbahnen

Der zweite (leere) Fokus ist in der Gezeitentheorie relevant. Auf einer elliptischen Umlaufbahn dreht sich die Linie, die den Planeten und den leeren Brennpunkt verbindet, mit der gleichen Frequenz wie die mittlere Bewegung des Planeten; Wenn daher die Spinrotationsperiode gleich der Umlaufzeit ist (der Planet ist in einer synchronen Rotation gesperrt), dreht sich der Planet mit einer Seite, die auf den leeren Fokus zeigt.

Wichtig ist, dass eine Gezeitenwölbung versucht, auf das massive Objekt (den besetzten Fokus) zu zeigen, während der Planet selbst auf den leeren Fokus zeigt, was eine „Librationsflut“ verursacht.

Es ist möglich, die Position des zweiten Fokus zu berechnen, wenn nur der Radiusvektor und der Impuls des Körpers gegeben sind. Betrachten Sie dazu den Laplace-Runge-Lenz- Vektor$\vec{A}$.

Wenn Sie sich im "Hauptfokus" befinden (der mit dem Anziehungszentrum), dann$-\vec{A}$zeigt in Richtung des zweiten Fokus. Die Länge dieses Vektors ist$|\vec{A}| = mke$. Daher ist die Position des zweiten Fokus gegeben durch :
$\vec{R}_{F2}= -2a\vec{e}= -\frac{2\vec{e}}{1-e^2}\frac{L^2}{mk}=-\frac{2L^2\vec{A}}{m^2k^2-|A|^2}$

Ich verwende die Notationen aus Wikipedia:
$e$-- ist die Exzentrizität und$\vec{e}$-- ist der Exzentrizitätsvektor
$L = \vec{r}\times\vec{p}$- Drehimpuls
$k$-- ist ein Parameter, der die Stärke der zentralen Kraft beschreibt$a$- Große Halbachse

Endlich Auswechseln$A^2=m^2k^2+2mEL^2$($E$ist negativ):
$\vec{R}_{F2}=\frac{\vec{A}}{mE}$
oder
$\vec{R}_{F2}=\frac{\vec{p}\times\vec{L}}{mE}-\frac{k\vec{r}}{Er}$

Das Ergebnis ist bemerkenswert einfach -- Es ist der LRL-Vektor dividiert durch Masse*Energie.

Obwohl ich keine intuitive Interpretation dafür erfinden kann.

Deine Annahmen sind richtig. Die klassische Lösung des Zwei-Körper-Problems besteht darin, dass sich jede Masse auf einer elliptischen Umlaufbahn bewegt und ein Brennpunkt jeder Ellipse im Massenmittelpunkt liegt.

Im Spezialfall, dass der Abstand vom Massenmittelpunkt zu jedem Körper konstant bleibt, bedeutet dies, dass beide Bahnen kreisförmig sind, wobei ein Kreis ein Spezialfall einer Ellipse ist. Beachten Sie, dass die Radien der beiden Kreise nicht gleich sind, es sei denn, die Objekte haben die gleiche Masse.

Schließlich fällt mir keine physikalische Relevanz für den zweiten Fokus ein, auch nicht für den Grenzfall, dass eine der Massen viel viel größer ist als die andere (und daher beim ersten Fokus in Ruhe bleibt). Insbesondere ist es kein Lagrange-Punkt.

Ich hatte kurz den Gedanken, dass man dieselbe elliptische Umlaufbahn beibehalten könnte, wenn man eine weitere große, feste Masse auf den zweiten Brennpunkt legt, aber das ist tatsächlich falsch, weil die zeitabhängige Umlaufbahn zwischen den beiden Brennpunkten (der kleinen Masse) nicht symmetrisch ist verbringt eine längere Zeit außerhalb der großen Masse), sodass Sie sie nicht überlagern können, um eine weitere einfache elliptische Umlaufbahn zu erhalten. Die Lösung des kreisförmigen eingeschränkten Dreikörperproblems (Eulers Dreikörperproblem) ist keine Ellipse.

Der zweite Fokus ist also im Grunde nur eine Kuriosität und nicht physikalisch relevant.