Wie berechne ich Evektion und Variation für den Mond in meinem einfachen Sonnensystemmodell?

Ich baue ein Modell eines einfachen Sonne-Planet-Mond-Sonnensystems (nicht das echte Sol-Terra-Luna-System).

Zweck: Berechnung der Positionen von Sonne und Mond am Himmel des Planeten zu einem bestimmten Zeitpunkt sowie des Zeitpunkts astronomischer Ereignisse wie Finsternisse und Mondphasen.

Frage: Wie berechne ich die Schwerkraft der Sonne, die auf das Subsystem Planet-Mond wirkt?

Ausgangspunkt für mein Modell ist ein keplersches Orbitalsystem aus zwei Körpern, das Planet-Mond-System, bei dem Planet und Mond auf Kreisbahnen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt kreisen. Dieses System wird dann als einzelnes Objekt in einem größeren keplerschen Orbitalsystem aus zwei Körpern, dem Sonne-[Planet-Mond]-System, behandelt, wobei die Sonne und der Planet-Mond-Schwerpunkt in kreisförmigen Umlaufbahnen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt kreisen. So wie es derzeit aussieht, beeinflusst die Sonne die Umlaufbahn des Mondes um den Planeten nicht. Das möchte ich beheben.

In Wirklichkeit wären die Umlaufbahnen des Planeten und des Mondes um ihren gemeinsamen Schwerpunkt nicht perfekt kreisförmig, und die Geschwindigkeit ihrer Umlaufbahnen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt wäre aufgrund des Gravitationseinflusses der Sonne nicht konstant. Wie berechne ich die physikalisch genauen Bewegungen?

Im realen Sonne-Erde-Mond-System hat die Abweichung der Mondbahn von der gleichförmigen Kreisbewegung mehrere benannte Komponenten:

• Die größte ist als Zentrumsgleichung (EOC) bekannt und erklärt die Tatsache, dass die Umlaufbahn des Mondes leicht exzentrisch ist (wie eine Ellipse geformt, nicht wie ein perfekter Kreis, wobei sich die Erde[-Mond-Schwerpunkt] in einem Brennpunkt befindet die Ellipse). In meinem System ist die Orbitalexzentrizität Null, also ist diese Komponente nicht vorhanden.
• Die nächstgrößere Komponente ist die von der Sonne verursachte Evektion , bei der die Länge des Mondes von seiner Position abweicht, wie sie durch die einfache kreisförmige Umlaufbahn und EOC gemäß dem Begriff vorhergesagt wird$+1.27401° \sin(2D - ℓ)$, Wo$D$ist der mittlere Winkelabstand des Mondes von der Sonne (Elongation) und$ℓ$ist der mittlere Winkelabstand des Mondes von seinem Perigäum (mittlere Anomalie). Ich möchte berechnen, was dieser Begriff für mein benutzerdefiniertes Sonnensystem wäre.
• Die drittgrößte Komponente in der Störung des echten Mondes ist die Variation , die ebenfalls durch die Sonne verursacht wird, wobei der Mond näher an der Erde ist und sich bei Vollmond- und Neumondphasen schneller bewegt und weiter von der Erde entfernt ist und sich bei Viertelmondphasen langsamer bewegt , wobei der Längengrad je nach Begriff variiert$+0.6583° \sin(2D)$. Dies macht die Umlaufbahn zu einer Ellipse, aber mit der Erde im Zentrum der Ellipse und nicht im Fokus. Ich möchte berechnen, was dieser Begriff für mein benutzerdefiniertes Sonnensystem wäre und wie sich die Entfernung von diesem Effekt unterscheidet.

Die durch Evektion und Variation verursachte Gesamtabweichung der Mondposition am Himmel beträgt nur etwa zwei Grad, aber da der Mond am Himmel nur etwa ein halbes Grad breit ist, bedeutet dies, dass er bis zu viermal so breit ist des Mondes - eine ziemlich große Entfernung. Ich möchte den maximalen Fehler in meinem Modell auf deutlich weniger reduzieren.

Im Modell befindet sich das Sonne-Planet-Mond-Schwerpunktzentrum im Ursprung des Referenzrahmens, mit der Ebene der Ekliptik als der$xy$-Ebene und die Orbitalachsen parallel zu den$z$-Achse. Alle Umlaufbahnen sind kreisförmig (oder haben zumindest keine Exzentrizität) und liegen in der Ebene der Ekliptik. Bei$t = 0$Die drei Körper sind kolinear entlang der$x$-Achse, wobei sich der Mond zwischen der Sonne und dem Planeten befindet. Die Sonne und das Planet-Mond-Schwerzentrum umkreisen beide das Sonne-Planet-Mond-Schwerzentrum in genau 360 lokalen Sonnentagen; der Planet und der Mond umkreisen beide ungefähr das Planet-Mond-Schwerzentrum$\frac{360}{13}$(≈27,7) lokale Sonnentage, wobei ein synodischer Monat (Zeit zwischen Voll-/Neumond) genau 30 lokale Sonnentage sind. Ein lokaler Sonnentag dauert 75.325,804 Erdsekunden (ungefähr 21 Erdstunden), was einen lokalen Sternentag 75.117,145 Erdsekunden ergibt.

Im aktuellen Modell:

• Der Mittelpunkt der Sonne hat Koordinaten (−SunBarycenterDistance * cos($t$), −SonnenBaryszentrumsAbstand * sin($t$))
• Der Mittelpunkt des Planeten hat Koordinaten (PlanetOrbitRadius * cos($t$) + PlanetBarycenterDistance * cos(13$t$), PlanetOrbitRadius * sin($t$) + PlanetBarycenterDistance * sin(13$t$))
• Das Zentrum des Mondes hat Koordinaten (PlanetOrbitRadius * cos($t$) − MondOrbitRadius * cos(13$t$), PlanetOrbitRadius * sin($t$) − MoonOrbitRadius * sin(13$t$))

Wo

• SunBarycenterDistance ist der Abstand zwischen dem Sonne-Planet-Mond-Baryzentrum und dem Zentrum der Sonne, berechnet basierend auf den Massen der Sonne und des Planet-Mond-Subsystems und dem Gesamtabstand zwischen ihnen: (DistanceSunPlanetMoon (MassPlanet + MassMoon)) / ( MasseSonne + MassePlanet + MasseMond)
• PlanetOrbitRadius ist der Abstand zwischen dem Sonne-Planet-Mond-Schwerpunkt und dem Planet-Mond-Schwerpunkt, berechnet basierend auf den Massen der Sonne und des Planet-Mond-Subsystems und dem Gesamtabstand zwischen ihnen: (DistanceSunPlanetMoon * MassSun) / (MassSun + MassPlanet + Massenmond)
• PlanetBarycenterDistance ist der Abstand zwischen dem Planet-Mond-Schwerpunkt und dem Zentrum des Planeten, berechnet auf der Grundlage der Massen des Planeten und des Mondes und des Gesamtabstands zwischen ihnen: (DistancePlanetMoon * MassMoon) / (MassPlanet + MassMoon)
• MoonOrbitRadius ist der Abstand zwischen dem Planet-Mond-Schwerpunkt und dem Zentrum des Mondes, berechnet basierend auf den Massen des Planeten und des Mondes und dem Gesamtabstand zwischen ihnen: (DistancePlanetMoon * MassPlanet) / (MassPlanet + MassMoon)
• DistanceSunPlanetMoon ist der Abstand zwischen dem Zentrum der Sonne und dem Baryzentrum Planet-Mond, berechnet auf der Grundlage der Massen von Sonne, Planet und Mond und der Umlaufzeit des Planeten: cbrt((TimePlanetOrbit² * G * (MassSun + MassPlanet + MasseMond)) / (4π²))
• DistancePlanetMoon ist der Abstand zwischen Planetenmittelpunkt und Mondmittelpunkt, berechnet aus den Massen von Planet und Mond und der Umlaufzeit des Mondes: cbrt((TimeMoonOrbit² * G * (MassPlanet + MassMoon)) / (4π²))
• G ist die Gravitationskonstante

Eine Sache, die vorgeschlagen wurde, um mit Mondvariationen fertig zu werden, besteht darin, den Mond auf ein zusätzliches kleines Epizykel zu setzen, wodurch die Koordinaten für das Zentrum des Mondes etwa so aussehen wie (PlanetOrbitRadius * cos($t$) − MondOrbitRadius * cos(13$t$) + EpizyklusRadius cos(−11$t$), PlanetOrbitRadius * sin($t$) − MoonOrbitRadius * sin(13$t$) + EpicycleRadius sin(−11$t$)), aber dazu muss ich den Radius des Epizyklus herausfinden und ob der Beschleunigungs- und Verlangsamungseffekt dieses Epizyklus mit dem tatsächlichen Beschleunigungs- und Verlangsamungseffekt der Schwerkraft der Sonne übereinstimmt oder nicht. Ich nehme an, ich müsste den Planeten auch auf einen ähnlichen Epizyklus setzen, der so bemessen und zeitlich abgestimmt ist, dass der Massenschwerpunkt des Planet-Mond-Systems immer mit dem modellierten Baryzentrumspunkt übereinstimmt.

Dinge aus dem realen Sonne-Erde-Mond-System, die ich bewusst weglasse:

• exzentrische Umlaufbahnen, die an verschiedenen Punkten der Umlaufbahn Änderungen der Umlaufgeschwindigkeit verursachen; Wie oben erwähnt, haben die Bahnen des Modells keine Exzentrizität
• Apsidenpräzession; Da die Umlaufbahnen kreisförmig sind, gibt es keine Apsiden
• Knotenpräzession; Da die Umlaufbahnen in derselben Ebene liegen, gibt es keine Umlaufbahnknoten
• Störungen von anderen Körpern; Das Modell berücksichtigt nur eine Sonne, einen Planeten und einen Mond, ohne dass andere Massen auf diese drei Körper einwirken
• Präzession der Äquinoktien verursacht durch die allgemeine Relativitätstheorie und die Abflachung von Sonne und Planet und die axiale Neigung des Planeten; Ich arbeite noch daran, wie ich das berechnen kann und möchte es in Zukunft einbeziehen, aber ich lasse es jetzt aus

NACHTRAG: Ich erhielt eine Frage bezüglich der Gültigkeit, den Mond auf einer kreisförmigen Umlaufbahn um das Planet-Mond-Schwerzentrum zu haben, selbst als erste Annäherung, aufgrund des Gedankens, dass dies dazu führen würde, dass sich die Bahn des Mondes manchmal von der Sonne weg krümmt. Hier ist ein Bild, das die Bahn des Mondes (schwarz) zeigt, die über den perfekten Kreis der Bahn des Schwerpunkts (rot) gelegt ist. Beachten Sie, dass der schwarze Pfad immer zur Sonne hin gekrümmt ist, obwohl die Krümmung und Geschwindigkeit relativ zur Sonne zu- und abnehmen, wenn der Mond innerhalb und außerhalb des Planeten kreist:

Und hier ist ein GIF des Planeten und des Mondes, die die Sonne umkreisen, zentriert auf dem Planeten-Mond-Schwerpunkt, wobei die Spur des Mondes als schwarze Linie dargestellt ist: