Berg und eine Feder fielen aus gleicher Höhe. Was trifft zuerst auf die Erde? [Duplikat]

Es tut mir leid zu sagen, aber die meisten anderen gegebenen Antworten sind falsch. Die richtige Lösung ist die Verwendung der reduzierten Masse: http://en.wikipedia.org/wiki/Reduced_mass . Die Näherung, dass zwei Körper mit gleicher Beschleunigung in das Gravitationsfeld eines dritten fallen, gilt nur für leichte Testmassen (das ist das Äquivalenzprinzip). Wenn wir uns die Dynamik schwerer Objekte ansehen müssen, die umeinander gravitieren, sind die Beschleunigungen im Schwerpunktsystem durch die reduzierten Massen gegeben. Auch das ist eine Folge der Relativitätstheorie, schließlich sind die beiden Massen bezüglich der Schwerkraft vollkommen gleichwertig.

TL;DR: Wenn das Rennen interessant gemacht wird, ist es die Feder, die zuerst trifft. Ansonsten ist es der Berg.

Vereinfachende Annahmen:

Ich werde einige Annahmen zur Vereinfachung der kugelförmigen Kuh treffen. Insbesondere die Erde, der Berg und die Feder sind Kugeln. Der kugelförmige Berg aus typischem Gestein hat eine Dichte von$\frac {1125}{128\pi}\,\text{g/cm}^3\approx 2.8\, \text{g/cm}^3$. Dadurch hat der kugelförmige Berg einen Radius von 8 km. Die Feder, die aus ultraleichtem Federmaterial besteht, hat eine Dichte von$\frac 9 {16\pi}\,\text{g/cm}^3\approx 0.18 \,\text{g/cm}^3$. Dadurch hat die kugelförmige Feder einen Radius von 2 cm.

Die andere Annahme ist die Bedeutung von "beide Objekte in einer Höhe von 10.000 m freigesetzt". Ich sehe drei mögliche Interpretationen der Höhe: gemessen von der Erdoberfläche bis zur Oberseite des Objekts, von der Erdoberfläche bis zur Mitte des Objekts oder von der Erdoberfläche bis zum Boden des Objekts.

Die erste Interpretation (die Höhe wird von der Erdoberfläche bis zur Spitze des Objekts gemessen) ergibt unter den gegebenen Umständen keinen Sinn. Wenn die Spitze des Berges 10 km über der Erde liegt, liegt die Unterseite des Berges 6 km unter der Erdoberfläche. Es gibt keine Rasse; Der Berg hat bereits gewonnen.

Auch die zweite Interpretation (Höhe wird von der Erdoberfläche bis zum Mittelpunkt des Objekts gemessen) ergibt unter den gegebenen Umständen wenig Sinn. Befindet sich das Zentrum des Berges zehn Kilometer über der Erde, muss der Berg nur zwei Kilometer fallen, bevor er auf die Erde trifft. Die Feder hingegen hat bis zu zwei Zentimeter weniger als zehn Kilometer. Das verschafft dem Berg einen Vorsprung von acht Kilometern. Das ist nicht einmal annähernd ein interessantes Rennen; Der Berg stürzt in weniger als der Hälfte der Zeit, die die Feder für einen Fall von fast zehn Kilometern benötigt, zwei Kilometer unter die Erde.

Die dritte Interpretation (die Höhe wird von der Erdoberfläche bis zum Boden des Objekts gemessen) ist die einzige, die für ein interessantes Rennen sorgt. Zu Beginn liegt der Massenschwerpunkt der Feder 10,00002 km über der Erdoberfläche, während der Massenschwerpunkt des Berges 18 km über der Erdoberfläche liegt. Dies bedeutet, dass die Beschleunigung der Feder aufgrund der Erdanziehungskraft etwas höher ist als die des Berges. Dies gibt der Feder einen leichten Vorteil gegenüber dem Berg.

Um dies zu einem eindimensionalen Problem zu machen, bohren wir ein 4 cm tiefes zylindrisches Loch mit 4 cm Durchmesser in den Berg. Die kugelförmige Feder passt gerade in dieses Loch. Ich werde ignorieren, dass dieses Loch den Berg nicht ganz kugelförmig macht.

Wer gewinnt?

Betrachten wir nun zwei Rassen. Im ersten Fall platzieren wir die Feder in dieser kleinen Tasche im Berg, richten den Berg so aus, dass die Tasche nach unten zeigt, und lassen den kugelförmigen Berg und die kugelförmige Feder gleichzeitig los. Gewinner ist das Objekt, das zuerst die Erdoberfläche erreicht. Im zweiten lassen wir den kugelförmigen Berg und die kugelförmige Feder separat los und messen die separaten Stürze. Gewinner ist das Objekt, das die kürzere Zeit benötigt, um die Erdoberfläche zu erreichen.

Im ersten Rennen beschleunigt die Feder nach unten zur Erde und nach oben zum Berg. Der Berg beschleunigt nach unten zur Erde und nach unten zur Feder. Die Erde als Ganzes beschleunigt sowohl auf den Berg als auch auf die Feder zu. Bezeichnung$h_f$als die Höhe in Kilometern des Bodens der kugelförmigen Feder über der Erdoberfläche,$h_m$als die Höhe in Kilometern des Bodens des kugelförmigen Berges über der Erdoberfläche,$x$als die Position in Kilometern des Erdmittelpunkts relativ zu seiner Ausgangsposition,$r$als Radius der Erde in Kilometern und$g=GM/r^2$B. Erdoberflächengravitation, sind die Differentialgleichungen, die das erste Rennen bestimmen

Zahlenmäßig integriert gewinnt die Feder um etwa 0,042 Sekunden. Die qualitative Erklärung ist, dass die leichte Aufwärtsbeschleunigung der Feder in Richtung des Berges die größere Abwärtsbeschleunigung der Feder in Richtung der Erde im Vergleich zu der des Berges nicht ausgleicht. Die Beschleunigung der Erde als Ganzes zum Berg und zur Feder ist bei diesem Wettlauf irrelevant.

Was ist mit dem zweiten Rennen? In diesem Fall könnte die Beschleunigung der Erde als Ganzes auf den Berg zu relevant sein. Die Beschleunigung der Erde als Ganzes auf die Feder zu ist noch unerheblich, weil die Masse der Feder so gering ist. Es stellt sich heraus, dass es im Wesentlichen keinen Unterschied im Timing gibt. Die Feder muss 10 Mikrometer mehr fallen als der Berg. Die Feder gewinnt immer noch mit 42 Hundertstelsekunden Vorsprung.

Was ist, wenn wir Punktmassen verwenden?

In diesem Fall ist das erste Rennen unentschieden, aber der Berg gewinnt das zweite Rennen.

Die Kraft, die ein Objekt aufgrund der Anziehung eines nahegelegenen Objekts erfährt, ist: