Bestimmung des chemischen Potentials

Es ist ziemlich schwierig, Ihre Frage zu beantworten, ohne genau zu wissen, mit welcher Art von System Sie es zu tun haben. Wenn Sie ein System in Betracht ziehen, das nur Wärme mit seiner Umgebung austauschen kann, hätten Sie eine kanonische Zustandssumme ohne chemisches Potential. Wenn Sie jedoch ein System in Betracht ziehen, das Wärme und Partikel mit einer Quelle austauschen kann, dann gilt Ihre Partitionsfunktion für ein großkanonisches Ensemble, und das chemische Potenzial muss darin enthalten sein.

Was Ihre Berechnung betrifft, so scheint es keinen Sinn zu machen, das chemische Potential als Funktion von sich selbst zu finden, und Sie müssen sich abhängig von Ihrem System sicher sein, ob das chemische Potential in Ihrer Partitionsfunktion vorhanden sein sollte oder nicht. Wenn dies nicht der Fall ist, hätte es keinen Sinn, das chemische Potential überhaupt zu berechnen, da es null wäre. Was genau versuchst du zu berechnen? Möglicherweise gibt es einen anderen Weg, um Ihr Problem anzugehen.

Wenn Sie die Partitionsfunktion für ein einzelnes Teilchen schreiben, ist die Partitionsfunktion die kanonische Partitionsfunktion für N=1. Was hat Sie zu der Annahme veranlasst, dass es keinen Sinn macht, nur die Boltzmann-Faktoren zu summieren? Vielleicht übersehe ich, an welche Situation du denkst. Wenn es sich um ein N-Teilchensystem mit zwei Energieniveaus handelt, eines mit Entartung 2, würde es funktionieren, nur das chemische Potential überhaupt zu entfernen.

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Wie es gehen soll

Sie können entweder mit dem kanonischen Ensemble oder dem großkanonischen Ensemble beginnen, aber die Methoden sollten nicht verwechselt werden.

Kanonisches Ensemble

Das Arbeiten im kanonischen Ensemble bedeutet die Anzahl der Teilchen$N$Ist repariert. Folglich enthält die kanonische Zustandssumme das chemische Potential nicht explizit. In diesem Fall,

$$Z_1 = e^{\beta\epsilon_1} + 2e^{\beta\epsilon_2}.$$ Die folgenden Schritte gelten allgemein für eine nicht interagierende $N$-Partikelsystem. $$Z_N = Z_1^N , \qquad$$ $$F_N(T) = -kT \ln Z_N = -NkT \ln Z_1 = NF_1$$ $$\mu \approx \left(\frac{\partial F_N}{\partial N}\right)_T = -kT \ln Z_1 = F_1$$

Großkanonisches Ensemble

Wenn Sie eine Partitionsfunktion sehen, einschließlich$\mu$, sehen Sie sich wahrscheinlich die Grand Canonical Partitionsfunktion an. Sagen wir noch einmal

$$Z_N = Z_1^N,$$ Das ist das Beste, was wir sagen können, ohne zu wissen, ob die Teilchen Fermionen oder Bosonen sind. $$\mathcal{Z} = \sum_{N}Z_Ne^{\beta\mu N} = \frac{1}{1 - Z_1e^{\beta\mu}}$$ $$\Omega(T,\mu) = -kT \ln \mathcal{Z} = kT \ln{(1 - Z_1e^{\beta\mu})}$$ $$\langle N \rangle = -\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \mu}\right)_T = \frac{Z_1e^{\beta\mu}}{1 - Z_1e^{\beta\mu}}$$ $$\mu = -kT \ln Z_1 + kT \ln{\left(\frac{\langle N \rangle}{\langle N \rangle +1}\right)}$$ An der Grenze $\langle N \rangle \to \infty$, konvergiert das Ergebnis mit der kanonischen Gesamtheit.