Dam Sons Problem: Wie lange dauert es, ein Straußenei zu kochen?

Die Temperaturverteilung innerhalb jeder Kugel als Funktion der Zeit und der radialen Position wird durch die transiente Wärmeleitungsgleichung (in Kugelkoordinaten) bestimmt:

$$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial T}{\partial r}\right)$$ Wo $\alpha$ist die Temperaturleitfähigkeit. Rand- und Anfangsbedingungen sind:

$T=T_0$bei t = 0 alle r

$T=T_1$alle t, bei r=R

$r^2\frac{\partial T}{\partial r}=0$, alle t, r = 0 Diese Gleichungen können durch folgende Substitutionen auf die dimensionslose Form gebracht werden:

$$\theta=\frac{T-T_0}{T_1-T_0}$$ $$\rho=\frac{r}{R}$$ $$\tau=\frac{\alpha t}{R^2}$$ Mit diesen Substitutionen werden die Gleichungen zu: $$\frac{\partial \theta}{\partial \tau}=\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho^2\frac{\partial \theta}{\partial \rho}\right)$$ $\theta = 0$bei $\tau=0$, alle $\rho$

$\theta = 1$alle$\tau$, bei$\rho=1$

$\rho^2\frac{\partial \theta}{\partial \rho}$, alle$\tau$,$\rho = 0$

Beachten Sie, dass es in der dimensionslosen Differentialgleichung und den Randbedingungen keine einstellbaren Parameter gibt. Also, um einen bestimmten Wert der dimensionslosen Temperatur zu erreichen$\theta$im Zentrum beider Sphären erfordert einen bestimmten Wert der dimensionslosen Zeit$\tau=\tau^*$. In Bezug auf die tatsächliche Zeit wäre dies

$$t=\frac{R^2}{\alpha}\tau^*$$ Unter der Annahme, dass die Temperaturleitfähigkeiten der beiden Eimaterialien gleich sind, bedeutet dies, dass die Zeit proportional zum Quadrat des Eiradius R ist.

Es sieht so aus, als ob die Annahme getroffen wird, dass die Zeit, die das Ei zum Kochen benötigt, proportional zum Quadrat des Durchmessers ist.

$$T=pd^2$$

Wo$p$ist die Proportionalitätskonstante. Deshalb

$$T_{chicken}=pd_{chicken}^2$$

$$T_{ostrich}=pd_{ostrich}^2$$

Oder lösen Sie beide für$p$

$$p=\frac{T_{chicken}}{d_{chicken}^2}=\frac{T_{ostrich}}{d_{ostrich}^2}$$

Deshalb

$$T_{ostrich}=(\frac{d_{ostrich}^2}{d_{chicken}^2})*T_{chicken}=54\space min$$

Die Frage ist also, warum gehen wir von dieser Verhältnismäßigkeit aus? Das Einfachste, was mir einfällt, ist, dass sie davon ausgehen, dass diese Zeit proportional zur Oberfläche des Eies ist. also dann$p=a*\pi$Wo$a$ist ein weiterer Faktor, der sich mit der Wärmeübertragung vom Wasser zum Ei befasst. Das macht Sinn. Mehr Oberfläche ermöglicht mehr Wärmeübertragung.

Ich denke, dass die Lautstärke auch eine Rolle spielen sollte. Es würde länger dauern, etwas mit mehr Volumen zu erhitzen. Wenn jemand zu diesem Punkt eine Anleitung geben kann, kann ich meine Antwort entsprechend anpassen.

---

Danke an @BowlOfRed:

Die Kochzeit ist proportional zu$\frac{energy\space needed\space to\space boil}{rate\space of\space heat\space exchange}$(Energie/(Energie/Zeit))->Zeit).

Die benötigte Energie wird proportional zum Volumen des Objekts sein (mehr Material bedeutet mehr benötigte Energie). Das bringt ein$d^3$Abhängigkeit.

Die Wärmeaustauschrate ist sowohl proportional zur Fläche ($d^2$) der Oberfläche sowie die Temperaturdifferenz pro Längeneinheit ($1/d$) (schnellere Energieübertragung, wenn wir mehr Energie und größere Temperaturunterschiede über kürzere Längen haben).

Deshalb unsere Zeit$T$für Heizung ist proportional zu$\frac{d^3}{d^2/d}=d^2$

Dann können wir die obige Arbeit durchgehen, um zur endgültigen Antwort zu gelangen.

Wir wollen zeigen, dass die Zeit zum Kochen proportional ist$R^2$, Wo$R$ist der Radius; dann nimmt das Straußenei$9$mal so lange kochen.

Sie können dies intuitiv erhalten, indem Sie berücksichtigen, wie der Wärmestrom mit der Objektgröße skaliert, aber es kann auch durch Dimensionsanalyse nachgewiesen werden. Die einzigen Dinge, die wichtig sein können, sind

$$\text{radius} \ R \sim [\text{m}], \quad \text{heat capacity } C \sim [\text{J/K}], \quad \text{thermal conductivity } \kappa \sim \left[ \frac{\text{J}}{\text{K} \cdot \text{m} \cdot \text{s}} \right].$$ Ich schließe hier keine Temperaturen ein, da die Anfangstemperatur, die Temperatur des kochenden Wassers und die "Ziel" -Temperatur für beide Eier gleich sind. Da die Wärmegleichung linear ist, fällt jede Abhängigkeit von diesen Temperaturen weg, wenn wir ein Zeitverhältnis nehmen.

Der einzige Weg, um einen Zeitraum zu erhalten$T$ist zu haben

$$T \sim \frac{C}{R \kappa}$$ aber seit $C$ist proportional zum Volumen, $T$ist proportional zu $R^2$wie gewünscht.