Das 1-dimensionale Kronig-Penney-Modell: Versuch, die Beziehung zwischen Sprungenergie und effektiver Masse zu verstehen

Question

Das 1-dimensionale Kronig-Penney-Modell: Versuch, die Beziehung zwischen Sprungenergie und effektiver Masse zu verstehen

Elektra

Das 1-dimensionale Kronig-Penney-Modell sagt eine Beziehung zwischen Energie, $E$ und Wellenzahl, $k$ des Formulars:
$\cos (k A) = \cos (Q A) - \frac{M_{e} A T_{0} Sünde (Q A)}{ℏ^{2} Q A}$ $\cos(ka)=\cos(qa) - \frac{m_e\,A\,t_0\,\sin(qa)}{\hbar^2\,qa}$ Wo $Q = \sqrt{\frac{2 M_{e} E}{ℏ^{2}}}$ $q=\sqrt{\frac{2m_e\,E}{\hbar^2}}$ Und $m_e$ ist die Elektronenmasse, $\alpha$ ist die Gitterkonstante, $A$ [ $m^2$ ] ist eine Konstante, und $t_0$ ist die hüpfende Energie. An der Grenze des Kleinen $k$ und Klein $E$ , finden Sie eine ungefähre Dispersionsbeziehung $E(k)$ für das Modell. Zeigen Sie, dass die effektive Masse ${m_e}^*$ hängt mit der Größe der Hüpfenergie zusammen, $t_0$ von: ${M_{e}}^{*} = M_{e} (1 - \frac{M_{e} A T_{0}}{3 ℏ^{2}})$ ${m_e}^*=m_e\left(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2}\right)$

Verwenden einer Näherung für das Arbeiten in der Nähe der Bandkante: in diesem Fall Auswählen $ka \ll 1$ . Auch das anzumerken $qa \ll 1$ für kleine Werte von $k$ . Ich erweitere die trigonometrischen Funktionen, um Terme zweiter Ordnung in zu finden $k$ Und $q$ , so dass,

1 - \frac{k^{2} A^{2}}{2} = 1 - \frac{M_{e} E A^{2}}{ℏ^{2}} - \frac{M_{e} A T_{0}}{Q A ℏ^{2}} (Q A - \frac{Q^{3} A^{3}}{6})

$1-\frac{k^2\,a^2}{2}=1-\frac{m_e\,E\,a^2}{\hbar^2}-\frac{m_e\,A\,t_0}{q\,a\,\hbar^2}\left(qa-\frac{q^3\,a^3}{6}\right)$

⟹ \frac{k^{2} A^{2}}{2} = \frac{M_{e} E A^{2}}{ℏ^{2}} + \frac{M_{e} A T_{0}}{ℏ^{2}} (1 - \frac{M_{e} E A^{2}}{3 ℏ^{2}})

$\implies \frac{k^2\,a^2}{2}=\frac{m_e\,E\,a^2}{\hbar^2}+\frac{m_e\,A\,t_0}{\hbar^2}\left(1-\frac{m_e\,E\,a^2}{3\hbar^2}\right)$

⟹ \frac{k^{2} A^{2}}{2} = \frac{M_{e} A^{2}}{ℏ^{2}} E (1 - \frac{M_{e} A T_{0}}{3 ℏ^{2}}) + \frac{M_{e} A T_{0}}{ℏ^{2}}

$\implies \frac{k^2\,a^2}{2}=\frac{m_e\,a^2}{\hbar^2}E\left(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2}\right)+\frac{m_e\,A\,t_0}{\hbar^2}$

Umstellen, um eine Dispersionsbeziehung zu erhalten:

E = \frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 M_{e}} {(1 - \frac{M_{e} A T_{0}}{3 ℏ^{2}})}^{- 1} + T_{0} \frac{A}{A^{2}} {(1 - \frac{M_{e} A T_{0}}{3 ℏ^{2}})}^{- 1}

$E=\frac{\hbar^2\,k^2}{2\,m_e}\left(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2}\right)^{-1}+t_0\frac{A}{a^2}\left(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2}\right)^{-1}$

Ich habe bis jetzt alles richtig gemacht.....

....aber dann sagt die Lösung:

Wir können sofort die effektive Masse ermitteln:
${M_{e}}^{*} = M_{e} (1 - \frac{M_{e} A T_{0}}{3 ℏ^{2}})$ ${m_e}^*=m_e\left(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2}\right)$ nach Bedarf. Es lohnt sich, über dieses Ergebnis nachzudenken ... Es impliziert, dass die effektive Masse umso kleiner ist, je größer die Hüpfenergie ist. Ergibt das Sinn für dich? Beachten Sie, dass dieser Ausdruck für die niedrigsten Energieniveaus gültig ist. Es ist im Wesentlichen das Tight-Binding-Modell, jedoch in einer anderen Parametrisierung.

Wie konnte der Autor

sofort die effektive Masse ermitteln $\large({\color{red}{\large{?}}}\large)$

Das ist für mich alles andere als offensichtlich. Aus einer früheren Frage von mir: Was bedeutet es zu sagen, dass die Fermi-Energie gleich der Hüpfenergie ist? , habe ich Energieausdrücke gesehen, die das Hopping-Integral beinhalten $t$ , wie zum Beispiel

E_{k} = - 2 T [\cos (k_{X} A) + \cos (k_{j} A) + \cos (k_{z} A)],

$E_{\bf{ k}}=-2t\left[\cos(k_x\,a)+\cos(k_y\,a)+\cos(k_z\,a)\right],$

E_{F} = + 4 T,

$E_F=+4t,$ und mit Versatz,

ϵ

$\epsilon$ :

E_{k} = ϵ - 2 T [\cos (k_{X} A) + \cos (k_{j} A)]

$E_{\bf{ k}}=\epsilon-2t\left[\cos(k_x\,a)+\cos(k_y\,a)\right]$

Der Autor schreibt auch

Daraus folgt, dass die effektive Masse umso kleiner ist, je größer die Hüpfenergie ist. Ergibt das Sinn für dich?

Es ergibt für mich überhaupt keinen Sinn.

Könnte jemand bitte erklären, was der Autor sagt, da ich das wirklich gerne verstehen würde?

Bearbeiten:

Ich sehe immer noch nicht wie

{M_{e}}^{*} \propto \frac{1}{T_{0}}

${m_e}^*\propto \frac{1}{t_0}$ Es scheint mir sehr, dass da

E = \frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 M_{e}} {(1 - \frac{M_{e} A T_{0}}{3 ℏ^{2}})}^{- 1} + T_{0} \frac{A}{A^{2}} {(1 - \frac{M_{e} A T_{0}}{3 ℏ^{2}})}^{- 1}

$E=\frac{\hbar^2\,k^2}{2\,m_e}\left(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2}\right)^{-1}+t_0\frac{A}{a^2}\left(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2}\right)^{-1}$ Und

{M_{e}}^{*} = M_{e} (1 - \frac{M_{e} A T_{0}}{3 ℏ^{2}})

${m_e}^*=m_e\left(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2}\right)$ Dann

E = \frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 M_{e}} \frac{M_{e}}{{M_{e}}^{*}} + T_{0} \frac{A}{A^{2}} \frac{M_{e}}{{M_{e}}^{*}} ⟹ E \propto \frac{T_{0}}{{M_{e}}^{*}} ⟹ {M_{e}}^{*} \overset{(???)}{\propto} T_{0}

$E=\frac{\hbar^2\,k^2}{2\,m_e}\frac{m_e}{{m_e}^*}+t_0\frac{A}{a^2}\frac{m_e}{{m_e}^*}\implies E\propto \frac{t_0}{{m_e}^*}\implies {m_e}^*\stackrel{\eqref{*}}\propto t_0$

Antworten (1)

Das 1-dimensionale Kronig-Penney-Modell: Versuch, die Beziehung zwischen Sprungenergie und effektiver Masse zu verstehen

sintetico · Answer 1

Es gibt normalerweise zwei Arten von komplementären Näherungen, die man in der Bandtheorie verwendet. Man geht von einer parabolischen Dispersion aus

E (k) = \frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 M_{e}^{*}} + E_{0}

$E(k)=\frac{\hbar^2k^2}{2m_e^*} + E_0$ Vernachlässigung der Offsetenergie

E_{0}

$E_0$ entspricht dies der Streuung eines freien Elektrons (z. B. im Vakuum), die sich (bei geringer Geschwindigkeit) beschreiben lässt

< c

$<c$ ) durch den Hamiltonian

H = \frac{P^{2}}{2 M_{e}}

$H=\frac{p^2}{2m_e}$ Die erste Gleichung lässt sich aus der zweiten durch Verwendung ableiten

p = - i ℏ \partial_{x}

$p=-i\hbar\partial_x$ und durch die Annahme ebener Wellen wacefunctions

ψ (r, x) \propto e^{i k x}

$\psi(r,x)\propto e^{i k x}$ . In diesem Sinne die Masse

m_{e}^{*}

$m_e^*$ wird effektiv genannt, weil sie im Allgemeinen von der "wirklichen" Masse des Elektrons verschieden ist. Wenn Sie nun die erste Gleichung mit Ihrer Dispersionsrelation vergleichen, die Sie geschrieben haben:

E = \frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 M_{e}} \times {(etwas)}^{- 1} + (etwas anderes)

$E=\frac{\hbar^2k^2}{2m_e}\times \text{(something)}^{-1} + \text{(something else)}$ das erkennst du

M_{e}^{*} = M_{e} \times (etwas)

$m_e^*=m_e \times \text{(something)}$ Im Allgemeinen können Sie die effektive Masse einfach in Bezug auf die zweite Ableitung der Dispersion definieren, dh

M_{e}^{*} = [(\partial_{k}^{2} E) / ℏ^{2}]^{- 1}

$m_e^*=[(\partial_k^2 E)/\hbar^2]^{-1}$ was wiederum das gleiche Ergebnis liefert.

In Bezug auf den zweiten Teil Ihrer Frage habe ich erwähnt, dass es in der Bandtheorie zwei Hauptarten von Annäherungen gibt. Die zweite ist die feste Bindung:

E = - 2 T \cos k

$E=-2t\cos{k}$ wobei ich nur den 1-dimensionalen Fall betrachte. Jetzt in der Nähe

k \approx 0

$k\approx0$ man gewinnt die parabolische Streuung zurück, weil man sie hat

E = - 2 T \cos k \approx - 2 T + T k^{2}

$E=-2t\cos{k}\approx -2t + t k^2$ Daher können Sie durch Vergleich mit der parabolischen Streuung identifizieren

T = \frac{ℏ^{2}}{2 M_{e}^{*}}

$t=\frac{\hbar^2}{2m_e^*}$ das ist die Beziehung zwischen dem Sprungparameter und der effektiven Masse. Alternativ können Sie, wenn Sie möchten, die effektive Masse auch wieder über die 2. Ableitung der Dispersionen definieren und erhalten

M_{e}^{*} = [(\partial_{k}^{2} E) / ℏ^{2}]^{- 1} = \frac{ℏ^{2}}{2 T}

$m_e^*=[(\partial_k^2 E)/\hbar^2]^{-1}=\frac{\hbar^2}{2t}$ Jetzt können Sie deutlich sehen, dass das Hüpfen umso größer ist

t

$t$ , desto kleiner die effektive Masse, wie der Autor sagt.

Lange Rede kurzer Sinn, die effektive Masse und das Hüpfen sind definiert als

T = \frac{ℏ^{2}}{2 M_{e}^{*}} = \frac{1}{2} \partial_{k}^{2} E (k)

$t=\frac{\hbar^2}{2m_e^*}=\frac12\partial_k^2 E(k)$

Bearbeiten:

Um die letzte Bearbeitung der Frage zu beantworten, die die Gleichung enthält

E = \frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 M_{e}} \frac{M_{e}}{{M_{e}}^{*}} + T_{0} \frac{A}{A^{2}} \frac{M_{e}}{{M_{e}}^{*}} ⟹ E \propto \frac{T_{0}}{{M_{e}}^{*}} ⟹ {M_{e}}^{*} \overset{(???)}{\propto} T_{0}

$E=\frac{\hbar^2\,k^2}{2\,m_e}\frac{m_e}{{m_e}^*}+t_0\frac{A}{a^2}\frac{m_e}{{m_e}^*}\implies E\propto \frac{t_0}{{m_e}^*}\implies {m_e}^*\stackrel{\eqref{*}}\propto t_0$

Ich bemerke, dass diese Implikationen falsch sind. Die Energie ist proportional zum Kehrwert der effektiven Masse. Die Energie wird als Summe zweier Terme geschrieben. Der erste Term ist proportional zu $k^2$ und kann geschrieben werden als $tk^2$ Wo $t=\hbar^2/(2m_e^*)$ ist das Hüpfen (wie ich oben geschrieben habe). Der zweite Term hängt nicht vom Impuls ab. Die Konstante $t_0$ ist nicht das Hüpfen. Außerdem kann man nicht schreiben, dass die Energie proportional zu ist $t_0$ weil Sie den ersten Begriff nicht einfach ignorieren können. Bis auf eine konstante Laufzeit ist die Energie proportional $k^2$ und die Proportionalkonstante ist $t\neq t_0$ .

Entschuldigen Sie die verspätete Antwort. Ich bin nur etwas verwirrt über "Jetzt können Sie deutlich sehen, dass das Hüpfen größer ist $t$ , desto kleiner die effektive Masse, wie der Autor sagt $E=\frac{\hbar^2\,k^2}{2\,m_e}(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2})^{-1}+t_0\frac{A}{a^2}(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2})^{-1}$ Und ${m_e}^*=m_e(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2})$ Dann $E=\frac{\hbar^2\,k^2}{2\,m_e}\frac{m_e}{{m_e}^*}+t_0\frac{A}{a^2}\frac{m_e}{{m_e}^*}\implies E\propto \frac{t_0}{{m_e}^*}\implies {m_e}^*\propto t_0$ . Es scheint also, dass das Hüpfen direkt proportional zur effektiven Masse ist? Danke.
Nein. Die Energie ist proportional zum Kehrwert der effektiven Masse, und ich denke, darauf können wir uns einigen. Die Energie wird als Summe zweier Terme geschrieben. Der erste Term ist proportional zu $k^2$ . Dieser Begriff kann geschrieben werden als $t k^2$ Wo $t$ ist das Hüpfen. Der zweite Term hängt nicht vom Impuls ab. Die Konstante $t_0$ ist nicht das Hüpfen, es ist nur ein Teil des konstanten Begriffs. Ich denke, dass die Notation des Buches vielleicht verwirrend ist, aber sie sind korrekt.
Außerdem kann man nicht schreiben, dass die Energie proportional zu ist $t_0/m_e^*$ weil man das erste Term nicht einfach kündigen kann. Der zweite Term, der proportional zu ist $t_0$ ist nur eine ständige Energieverschiebung.
Ich stimme dieser Antwort grundsätzlich zu. Ich würde jedoch einer effektiven Massenannäherung und einer eng bindenden Annäherung nicht widersprechen . Zunächst zeigen Sie, dass ersteres im Zusammenhang mit letzterem möglich ist. Außerdem steht als Methode zur Annäherung an die Bandstruktur die enge Bindung normalerweise im Gegensatz zu der Methode mit nahezu freien Elektronen .
@Vadim Ich stimme zu, die beiden Annäherungen sind nicht "entgegengesetzt". Tatsächlich werden sie in der Niederenergiebeschreibung äquivalent, da das eine als Annäherung an das andere und umgekehrt am unteren Ende des Bandes angesehen werden kann.

Das 1-dimensionale Kronig-Penney-Modell: Versuch, die Beziehung zwischen Sprungenergie und effektiver Masse zu verstehen

Elektra

Antworten (1)

sintetico

Elektra

sintetico

sintetico

Roger Wadim

sintetico

Ruhemasse des Kerns und seiner konstituierenden Nukleonen

Sagen wir, dass Phonon durch seine Dispersionsrelation effektive Masse hat?

Zustandsdichte in NICHT-Freiem-Elektronen-Gas

Was passiert bei einem Autounfall?

Elastische Kollision und Momentum

Verwirrt durch Schwerkraft und Gewicht [geschlossen]

Was ist die Symmetrie, die für die Massenerhaltung verantwortlich ist?

Praxis AP Physik B Prüfungsfrage zum Momentum [geschlossen]

Frage zur Lösung des Morin-Leaky-Bucket-Problems

Wie viel Energie setzt ein verdampfendes Schwarzes Loch in der letzten Sekunde seines Lebens frei?