Zustandsdichte in NICHT-Freiem-Elektronen-Gas

Das ist alles ziemlich Standardmaterial, das Sie an anderer Stelle auf dieser Seite finden können, aber es ist nicht immer klar dargestellt und ich möchte es noch einmal durcharbeiten:

Intuitiv alles, was das Dispersionsverhältnis verändert$E(\vec{p})$ändert auch die Zustandsdichte. Dies liegt nur daran, dass wir die Zustände normalerweise nach ihrem Impuls benennen und davon ausgehen, dass es für jeden Impuls zwei Zustände (Spin-up und Spin-down) gibt. Dies bedeutet, dass für kontinuierlich$p$:

$n=2\int d^Dp$

was ein integraler Bestandteil von ist$D$Maße.

Alles, was die Anzahl der Impulse bei einer bestimmten Energie ändert, wird dies beeinflussen durch:

$DOS=\frac{\partial n}{\partial E}=2\frac{\partial}{\partial E}[\int d^Dp]$

Sie können das Integral in Kugelkoordinaten im p-Raum schreiben:

$d^Dp=A_Dp^{D-1}dp$, So

$DOS=\frac{\partial}{\partial E}[2A_D\int p^{D-1}dp]$

$A_D$ist eine Konstante (es ist die Oberfläche von a$D$-dimensionale Kugel mit Radius 1). Jetzt verwenden Sie die Umkehrung der Dispersionsrelation$p(E)$um einen Ersatz zu machen:

$dp=(\frac{dp(E)}{dE})dE$

$DOS(E)=\frac{\partial}{\partial E}[2A_D\int_0^{E} p(E')^{D-1}(\frac{dp(E')}{dE'})dE']=2A_Dp(E)^{D-1}(\frac{dp(E)}{dE})$

Die Dispersion in ihrer umgekehrten Form ist also genau da. Alles, was Sie wirklich getan haben, ist eine Änderung der Variablen, aber die Art und Weise, wie sich diese Variablen ändern, hängt von der Streuung ab. Dieses exakte Verfahren ist nur möglich, wenn E eine Funktion der Größe von p ist. Ist dies nicht der Fall, wie in einer höherdimensionalen Bandstruktur, müssen Sie die Integration über die Komponenten von durchführen$p$individuell, aber es ändert nicht wirklich die Situation.

Gehen wir als Beispiel zu D=1 und vergleichen eine freie Partikel- und Bandstruktur. Das freie Teilchen hat$E(p)=p^2/2$, und die Bandstruktur hat eine festbindende Form$E(p)=1-\cos(\pi p)$, Wo$p$sind nun eigentlich Quasimomente, die zwischen 0 und 1 begrenzt sind, das heißt$E$ist zwischen 0 und 2 begrenzt.

Für das freie Teilchen bekommst du

$DOS=\frac{\partial}{\partial E}[2A_1\int_0^E p(E')^{1-1}(\frac{dp(E')}{dE'})dE']$

$=\frac{\partial}{\partial E}[2\int_0^E (\sqrt{E'})^{-1}dE']$

$=2(\sqrt{E})^{-1}$

Für die Bandstruktur gilt:

$DOS=\frac{\partial}{\partial E}[2\int_0^E \frac{1}{\pi\sqrt{1-(1-E')^2}} dE']=\frac{2}{\pi}\left(\frac{1}{\sqrt{1-(1-E)^2}}\right)$

Wie Sie sehen können, sind diese beiden Ausdrücke eindeutig nicht identisch. Insbesondere gehen beide gegen unendlich an$E=0$, aber der Bandstrukturausdruck tut es auch an der Spitze des Bandes,$E=2$. Dies ist eine Van-Hove-Singularität , und sie ist wichtig, um verschiedene Eigenschaften des Bandstrukturmaterials zu bestimmen.

Die Kroenig-Penny-Dispersion würde komplizierter aussehen und höhere Bänder haben, aber im untersten Band wäre sie qualitativ ähnlich.