Integral der Zustandsdichte (DOS) bei nicht geschlossener Oberfläche

Gemäß der Zustandsdichteformel (DOS).

$$\rho(\varepsilon)\propto \int_{\varepsilon=\text{const}}\frac{dS}{|\nabla_k \varepsilon_k|}.$$

Da es in der DOS-Formel ein Integral auf der Fläche konstanter Energie gibt, was ist, wenn die Fläche konstanter Energie nicht geschlossen und somit unendlich ist? Zum Beispiel in 2D

$$\varepsilon_k=v_xk_x+v_yk_y \, .$$ Die Isoenergiefläche wird ins Unendliche eben erweitert und damit im Integral schlecht definiert$\int dS$. Das DOS-Integral ist divergent und liefert kein endliches Ergebnis.

Einige mögen argumentieren, dass diese Art von Hamilton-Operator aus einer effektiven Theorie stammen muss, die nur für niedrige Energien gültig ist und daher einen gültigen Bereich hat, über den hinaus die Dispersionsrelation nicht funktioniert. Nun, wenn es mir nur um das divergierende Verhalten geht und ich nicht weiter auf die 'echte' Streuung eingehen möchte, die schwer zu manipulieren ist (vielleicht gar kein analytischer Ausdruck). Kann ich die abweichenden Informationen nur aus der linearen Streuung erhalten? Soll ich geben$k$Region a abschneiden und dann berechnen?