Die Zustandsdichte für freie Elektronen im Leitungsband

Ihre Frage lässt sich auf folgendes reduzieren: Wie ist der Momentanwert einer Funktion$f(x)$bezogen auf den Mittelwert dieser Funktion aus$x_o$Zu$x$? Bei der Fermi-Statistik in 1, 2 und 3 Dimensionen kennen wir den Mittelwert durch Augenschein genau. In dieser Formulierung ist der Mittelwert einer Funktion über das Intervall einfach:

$$\begin{equation} \overline{f(x)} = \frac{\int{f(x)dx}}{(x-x_0)} \end{equation}$$

Das Verhältnis des Momentanwerts zum Mittelwert ist also:

$$\begin{equation} \frac{f(x)}{\overline{f(x)}} = \frac{(x-x_0)f(x)}{\int_{x_0}^x {f(x)dx}} \end{equation}$$

Arbeitet man das mit den 3 Funktionsformen der Zustandsdichte für 1,2 und 3 Dimensionen durch:

$$\begin{equation} f(x) = (x-x_0)^{1/2}, f(x) = const, f(x) = (x-x_0)^{-1/2} \end{equation}$$

Sie werden sehen, dass die Faktoren von$3/2$,$1$Und$1/2$kommen aus dem Integral. Alles andere hebt sich auf, sodass das Verhältnis immer nur eine von der Form der Funktion abhängige Zahl ist. Um zu sehen, wie dies mit der Fermi-Statistik und den Ideen in Kittel zusammenhängt, lesen Sie weiter.

Die Fermi-Energie ist die Energie, unterhalb derer alle Zustände bei 0 K gefüllt sind. Das bedeutet, dass sich darunter gleich viele Zustände und Elektronen befinden$\begin{equation} \epsilon_F \end{equation}$und daher würden Sie erwarten, dass die "durchschnittliche" Zustandsdichte bis zur Fermi-Energie ungefähr ist$\begin{equation} \frac{ N }{\epsilon_F} \end{equation}$, ein Elektron pro Orbital. Das wäre auch die Zustandsdichte bei der Fermi-Energie, wenn die Zustandsdichte mit der Energie konstant wäre ... aber in 3D ist sie es nicht, sie nimmt mit der Energie zu$\begin{equation} \epsilon^{1/2} \end{equation}$Sie würden also erwarten, dass die Zustandsdichte bei der höchsten besetzten Energie höher als der Durchschnitt ist.$\begin{equation} \epsilon_F \end{equation}$, also der Faktor vor$\frac{N}{\epsilon}$sollte größer als 1 sein. Sie müssen die Mathematik oben durchgehen, also sehen Sie, dass es 3/2 ist.

Die Reihenfolge der Zustandsdichte ist$\begin{equation} \epsilon^{1/2} \end{equation}$, N ist auch eine Funktion der Energie in 3D.

In 2D ist die Zustandsdichte mit der Energie konstant. Um dies zu sehen, beachten Sie zunächst, dass Energieisoquanten im k-Raum Kreise sind. Gültige Zustände sind diskrete Punkte im k-Raum. Die Energie der Zustände auf einem Kreis nimmt mit dem Quadrat des Radius zu,$k^2$. Für eine Energiewende$\begin{equation} \Delta \epsilon \propto 2k \Delta k\end{equation}$die Fläche des Kreises nimmt zu$\begin{equation} 2\pi k \Delta k \propto \Delta \epsilon \end{equation}$. Die Anzahl der Zustände in diesem ringförmigen Ring ist proportional zu dieser Fläche, eine Einheitsfläche für jeden gültigen k-Vektor, also die Zustandsdichte,$\begin{equation} \frac{dN }{d\epsilon} \end{equation}$ist konstant . Sie würden also in diesem Fall erwarten, dass die Zustandsdichte die durchschnittliche Dichte bei jeder Energie ist$\begin{equation} \frac{N }{\epsilon} \end{equation}$. In diesem Fall ist die numerische Konstante klar, die Zustandsdichte ist bei jeder Energie gleich, also muss die Anzahl der Elektronen genau gleich der Anzahl der Zustände bis zu dieser Energie sein ... keine Mathematik erforderlich!

Das Argument für 1D ähnelt dem Argument für 3D, außer dass in diesem Fall die Zustandsdichte mit zunehmender Energie abnimmt. Isoquanten mit konstanter Energie im k-Raum in 1D sind nur Punkte auf einer Linie im Abstand k vom Ursprung. Das Bewegen um einen Punkt vom Ursprung nach außen erhöht die Anzahl der Zustände um eins und erhöht die Energie des Zustands um einen konstanten Zuwachs,$\begin{equation} \Delta \epsilon \propto 2k \Delta k\end{equation}$.

$$\begin{equation} \frac{dN }{d\epsilon} =\frac{\Delta N }{\Delta k}\frac{\Delta k }{\Delta \epsilon} \propto 1 \cdot \frac{1}{k} \propto \epsilon^{-\frac{1}{2}}\end{equation}$$

Nun würden wir erwarten, dass die Zustandsdichte bei jeder Energie geringer ist als die durchschnittliche Dichte$\epsilon$also der faktor vor$\frac{N}{\epsilon}$sollte kleiner als 1 sein.