Das Differential in Integralen verstehen

Sie haben Recht, dass hier etwas Subtiles vor sich geht. Nehmen wir zum Beispiel den einfacheren Fall, die Gesamtmasse als Integral zu definieren,$M = \int dm$. Dies hat die einfache intuitive Bedeutung zu sagen: "Brechen Sie das Objekt in winzige Stücke und addieren Sie die Massen jedes Stücks". Und mathematisch wird es als Integration in Bezug auf ein Maß bezeichnet und unter dem Namen des Lebesgue-Integrals rigoros untersucht.

Aber in der einführenden Physik ist das nicht direkt nützlich, weil wir wissen wollen, wie man die Integration tatsächlich durchführt . Zum Beispiel kann das Trägheitsmoment geschrieben werden als

$$I = \int dI = \int r^2 dm$$ was viel Aufschluss darüber gibt, was Trägheitsmoment bedeutet. Dies ist jedoch für tatsächliche Berechnungen nutzlos, da wir keine Regeln zum Integrieren über diese Variablen haben. Was wir fast immer tun, ist eine Parametrisierung einzuführen und dann bezüglich des Parameters zu integrieren.

Zum Beispiel könnten wir definieren$I(r)$als Trägheitsmoment, wobei nur Massen mit Radius gezählt werden$r$oder weniger. In diesem Fall wollen wir wirklich$I(R)$, Wo$R$ist der Radius des Objekts, und

$$I = \int dI = \int_0^R \frac{dI}{dr} \, dr.$$ Hier,$dI/dr$ist die Änderungsrate des Trägheitsmoments, wenn wir immer größere Radien zählen, also$(dI/dr)\, dr = dI$ist der Beitrag des Trägheitsmoments aufgrund einer dünnen Schichtdicke$dr$.

Das bedeutet, dass in Ihrem Fall der richtige Ausdruck für$dI$Ist

$$dI = r^2 dm = r^2 (\rho \cdot 2 \pi r dr) = \frac{2Mr^3}{R^2} dr$$ Wo$\rho$ist die Dichte des Objekts. Im zweiten Ausdruck denken wir implizit an$dm$als Masse in einem kleinen Radius$dr$. Wenn Sie sich mit der zweiten Gleichheit unwohl fühlen, denken Sie an$m(r)$als Funktion, die die Masse innerhalb eines Radius angibt$r$(wie wir es definiert haben$I(r)$). Dann tauschen wir einfach aus$dm$mit$(dm/dr)\, dr$nach der Kettenregel.

Hier ist, wie ich es mache, vielleicht funktioniert es für Sie.

Integral ist im Wesentlichen eine kontinuierliche Summierung. Ich muss überlegen, welche Menge von Elementen, die ich summiere, tatsächlich repräsentiert und wie sie variieren.

Es gibt (wie immer) mehr als eine Möglichkeit, ein Problem zu lösen, und in Bezug auf Ihr Beispiel wäre es gleichermaßen möglich, es zu lösen, indem Sie entweder a) alle Elemente
aus einer bestimmten Richtung summieren / integrieren und dann alle Elemente in jeder Richtung summieren ODER
b ) Summieren / Integrieren aller Elemente bei einem bestimmten Radius in jede Richtung und dann Summieren aller Elemente für jeden Radius.

Diese Schemata werden ausgewählt, um sicherzustellen, dass alle relevanten Elemente in die Integration einbezogen werden.

Die einfachste Summierung/Integration ist normalerweise diejenige, bei der die summierten Elemente alle ähnlich sind. Das wäre hier Wahl b), da die Größe aller Elemente auf einem definierten Radius konstant ist.

Ich weiß nicht, ob ich Ihre Frage vollständig beantworten kann, aber für das Beispiel, das Sie gepostet haben, bin ich normalerweise so vorgegangen.

Wenn Sie rechnen möchten$dm$eines kleinen Kreisrings (wobei wir dann über die ganze Scheibe integrieren werden), wollen wir den kleinen Massenanteil dieses Rings finden. Dies wird durch gegeben

$$dm = \rho(r) * 2 \pi r *dr$$

Der Grund für diese Formel ist, dass wir die Massendichte der Scheibe haben ($\rho$), und dann ist die "Fläche", die aus einer kleinen Scheibe erstellt wird, der Umfang der Scheibe ($2\pi r$) multipliziert mit der Dicke der Scheibe ($r$). Sie können sich das so vorstellen, als würden Sie den kleinen Ring zu einem Rechteck mit Seiten aufrollen$2\pi r$Und$dr$. Von dort aus können Sie dann integrieren$0$Zu$R$.

Im Allgemeinen finde ich, dass Sie, wenn Sie ein Differential durch ein anderes ersetzen, normalerweise ein anderes Differential haben werden. Was ich damit meine ist, dass, wenn ich ersetzt$dm$In meinem Ausdruck erhalte ich ein weiteres Differential$dr$Am Ende.

Im Fall der Scheibe denke ich darüber nach, was das Differential sein sollte, indem ich darüber nachdenke, worüber ich summiere. Hier verwenden wir unendlich dünne Ringe, und sie haben alle die gleiche "Dicke".$dr$. Allerdings der Radius$r$denn jeder Ring ist sicherlich anders, weshalb wir auch einen Faktor haben$r$auch drin.

Ich hoffe, das hilft (zumindest für dieses Beispiel). Mein Vorschlag wäre, weiter Beispiele durchzugehen, und nach einer Weile wird der Teil der Differenzen klarer.