Definition von Dualität (im Gegensatz zu Symmetrie)

Ich lerne gerade grundlegende Stringtheorie und wir sind auf die T-Dualität gestoßen, die als Symmetrie der Formel für die Masse eines Strings im Kontext der Kompaktifizierung dargestellt wurde. Es gab eine Bemerkung, dass gezeigt werden kann, dass dies tatsächlich eine Symmetrie der gesamten Theorie ist.

Warum führen wir also einen neuen Begriff Dualität ein , wenn wir uns einfach auf eine Symmetrie in der Theorie beziehen?

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Dualität bezieht sich immer auf die Vorstellung, dass zwei oberflächlich unterschiedliche Konzepte tatsächlich in gewissem Sinne gleichwertig sind. Da Symmetrien, eher tautologisch, Äquivalenzen sind, tritt eine Dualität oft als diskret auf Z 2 -Symmetrie.

Insbesondere die T-Dualität ist die Dualität zwischen einer auf einem Radiuskreis kompaktierten Stringtheorie R mit einer auf dem Kreis mit Radius verdichteten Theorie 1 R . Das ist gewissermaßen eine Dualität zwischen „IR-Physik“ und „UV-Physik“.

Könnten Sie erklären, was Sie meinen mit "Da Symmetrien eher tautologisch Äquivalenzen sind, tritt eine Dualität oft als diskrete ℤ2-Symmetrie auf." ?
@quan: Sie können das, was Sie nach einer Transformation erhalten, immer als "neue Theorie" betrachten. Wenn die Transformation eine Symmetrie ist, dann ist die neue Theorie per Definition einer Symmetrie dieselbe wie die alte. Da die Dualität nur zwei mögliche Theorien miteinander in Beziehung setzt, gibt die zweimalige Anwendung der Dualität die ursprüngliche Theorie zurück. Die "Symmetriegruppe" einer Dualität ist also Z 2 - eine einzige Transformation, die bei zweimaliger Anwendung nur die Identität ist.
Nur zur Klarstellung: T-Dualität ist a Z 2 Symmetrie nur für Verdichtungen auf einem einzigen Kreis. Im allgemeineren Fall ist die Gruppe etwas Größeres. Beispielsweise ist für die heterotische Kette in d-Dimensionen die T-Dualitätsgruppe Ö ( D , D + 16 , Z ) .

Um das Konzept einer Dualität zu verdeutlichen , betrachten Sie das Ising-Modell in der statistischen Mechanik. Bei niedriger Temperatur können wir die Partitionsfunktion erweitern als

Z = 2 e 2 N β J ( 1 + N e − 8 β J + 2 N e − 12 β J + … )

mit Diagrammmethoden. Im Hochtemperaturbereich können wir es erweitern als:

Z = 2 N ( cosch ⁡ β J ) 2 N ( 1 + N ( Tanh ⁡ β J ) 4 + 2 N ( Tanh ⁡ β J ) 6 + … ) .

Beachten Sie, dass diese beiden Theorien durch den Austausch miteinander verbunden sind e − 2 β J ↔ Tanh ⁡ β J , bekannt als Kramers-Wannier-Dualität . An diesem Beispiel sehen wir, dass eine Dualität eine Beziehung zwischen zwei oder mehr Theorien ist, obwohl es nicht immer ein konkretes, strenges Konzept ist. Tong bezeichnet dies als „Symmetrie der Zustandssumme“ unter dem Austausch der Variablen. Es kann insofern als Symmetrie angesehen werden, als der Austausch die Tatsache aufrechterhält, dass die Partitionsfunktion immer noch einen Aspekt des Ising-Modells beschreibt.

Für die bosonische Saite die Vertauschung von Quantenzahlen und Radien R ↔ a ' / R spiegelt die Tatsache wider, dass das Spektrum der Saite für beide Kreise gleich ist. Das Konzept erstreckt sich auf kompliziertere Systeme. Für ein superkonformes nichtlineares Sigma-Modell, das die Dynamik eines Weltblatts beschreibt, führt unter bestimmten Einschränkungen der Austausch des Zielraums, einer Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit, gegen einen anderen zu derselben Theorie. Dies wird als Spiegelsymmetrie bezeichnet .

Leider beantwortet das nicht wirklich meine Frage. Welche Eigenschaft macht also eine Dualität zu einer Dualität und nicht zu einer Symmetrie der Theorie? Oder ist diese Frage falsch gestellt?
@quan Es beantwortet Ihre Frage, aber vielleicht ist es nicht 100% klar. In gewisser Weise kann man sich eine Dualität als Symmetrie vorstellen, aber nicht umgekehrt. Erstere bezieht getrennte Theorien aufeinander.
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