Definition von Kraft, kinetischer Energie und Impuls

Feynman betont explizit, in vol. 1 seiner Vorlesungen über Physik, das$F = \frac{d(mv)}{dt}$ist nicht die Definition von Kraft. In Abschnitt 12-1 sagt er

Wenn wir ein Grundgesetz entdeckt haben, das besagt, dass die Kraft gleich Masse mal Beschleunigung ist, und dann die Kraft als Masse mal Beschleunigung definieren , haben wir nichts herausgefunden.

Etwas später sagt er

Der eigentliche Inhalt der Newtonschen Gesetze ist folgender: dass die Kraft neben dem Gesetz einige unabhängige Eigenschaften haben soll$F = ma$; aber die spezifischen unabhängigen Eigenschaften, die die Kraft hat, wurden weder von Newton noch von irgendjemand anderem vollständig beschrieben, und daher das physikalische Gesetz$F = ma$ist ein unvollständiges Gesetz. Dies impliziert, dass wir, wenn wir die Masse multipliziert mit der Beschleunigung untersuchen und das Produkt Kraft nennen, dh wenn wir die Eigenschaften der Kraft als ein interessierendes Programm untersuchen, feststellen werden, dass Kräfte eine gewisse Einfachheit aufweisen; Das Gesetz ist ein gutes Programm zur Analyse der Natur, es ist ein Vorschlag, dass die Kräfte einfach sein werden.

Ich fand die folgenden Kommentare von Terence Tao zum Thema Funktionsweise von Physikmodellen aufschlussreich:

Terence Tao - @Pietro: Bei der Funktionsweise mathematischer oder physikalischer Modelle geht man von der Existenz einer Vielzahl mathematischer Größen aus (z. B. Kräfte, Massen und Beschleunigungen, die jedem physischen Objekt zugeordnet sind), die einer Reihe mathematischer Gleichungen gehorchen (z. B. F= ma), und man geht auch davon aus, dass das Ergebnis verschiedener physikalischer Messungen in Bezug auf diese Größen berechnet werden kann. Beispielsweise befinden sich zwei physische Objekte A_1, A_2 genau dann am selben Ort, wenn ihre Verschiebungen x_1, x_2 gleich sind.

Die numerischen Größen in diesen Modellen (zB F, m, a) sind zunächst unbekannt. Aufgrund ihrer Beziehungen zueinander und zu physikalischen Observablen kann man ihre Werte jedoch in vielen Fällen aus physikalischen Messungen mit anschließender mathematischer Berechnung ableiten. Mit Linealen kann man Verschiebungen berechnen; mit Uhren kann man Zeiten berechnen; mit Verschiebungen und Zeiten kann man Geschwindigkeiten und Beschleunigungen berechnen; durch Messen der Beschleunigung, die durch die Anwendung einer Standardkraft verursacht wird, kann man Massen berechnen; und so weiter. Beachten Sie, dass in vielen Fällen die Gleichungen des Modells (z. B. F = ma) verwendet werden müssen, um diese mathematischen Größen abzuleiten. (Die Verwendung solcher Gleichungen zur Berechnung dieser Größen macht solche Gleichungen jedoch nicht notwendigerweise tautologisch. Wenn zum Beispiel

Wenn man ein Standardverfahren gefunden hat, um eine dieser Größen durch eine physikalische Messung zu berechnen, dann kann man, wenn man möchte, dies als die Definition dieser Größe nehmen, aber es gibt mehrere Definitionen für jede gegebene Größe, und welche man wählt, ist eine Frage der Konvention. (Zum Beispiel hat sich die Definition eines Messgeräts im Laufe der Zeit geändert, um es weniger anfällig für Artefakte zu machen.)

In einigen Fällen ist es nicht möglich, einen Parameter im Modell durch physikalische Beobachtung zu messen, in diesem Fall wird der Parameter als "unphysikalisch" bezeichnet. Beispielsweise ist in der klassischen Mechanik die potentielle Energie eines Systems nur bis auf eine unbestimmte Konstante bestimmt und damit unphysikalisch; nur der Unterschied in potentiellen Energien zwischen zwei verschiedenen Zuständen des Systems ist physikalisch. Unphysikalische Größen sind jedoch immer noch nützliche mathematische Annehmlichkeiten in einem Modell, da sie dazu beitragen können, Schlussfolgerungen über andere, eher physikalische Parameter im Modell abzuleiten. Daher ist es nicht notwendig, dass jede Größe in einem Modell eine physikalische Definition hat, damit das Modell eine nützliche physikalische Vorhersagekraft hat.

Q1 ist$F=\frac{d(mv)}{dt}$nur eine Definition oder steckt "mehr" hinter der Kraftformel?

$\vec{p} = m\vec{v}$ist eine Definition!$\vec{F} = m\vec{a}$ist nicht! Praktisch gesehen können Sie sowohl Kraft (unter Verwendung eines elastischen Materials und seiner Verformung) als auch Beschleunigung (doppelte Ableitung des Raums in Bezug auf die Zeit) messen. Newton entdeckte, dass sie proportional sind, da sie definitiv unabhängig sind.$\vec{F} = m\vec{a}$ist die Beziehung zwischen$\vec{F}$Und$\vec{a}$nicht die Definition von Gewalt! Sie können das Momentum nicht messen, also müssen Sie es definieren! Die Definition ist$\vec{p} = m\vec{v}$und die Gründe werden in Feynman-Büchern perfekt erklärt.

$$\vec{F} = m\vec{a} = m\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d(m\vec{v})}{dt}$$

Q2 ist$W=\int\vec{F}.d\vec{S}$nur eine Definition oder steckt mehr dahinter? Ich meine, können Sie die Formel für Arbeit nicht ableiten, indem Sie die Formel für die kinetische Energie als gegeben nehmen.

$$W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$$ ist die Definition der von einer Kraft verrichteten Arbeit$\vec{F}$Entlang eines Weges braucht man keine kinetische Energie, um Arbeit zu definieren. Energie ist die mögliche Arbeit, die von einem sich bewegenden Körper verrichtet werden kann.

Q3 Wie leite ich die Formel für die kinetische Energie ab und arbeite nur mit der Impulserhaltung?$\sum m_i\vec{v_i}$=konst.?

Du weißt, dass$\vec{F} = \frac{d(m\vec{v})}{dt} = \frac{d\vec{p}}{dt}$aber seit$\vec{p}$konstant ist, ist die Ableitung Null. Falls es sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt$\vec{v_0}$. Stellen Sie sich nun eine konstante Kraft vor, die auf die Masse ausgeübt wird, das haben Sie$v^2 - v_{0}^2 = 2as$(aus Kinematik)$Fs = W = \Delta E$,$mas = W \Rightarrow$

$$v^2 - v_0^2 = 2W/m$$ $$W = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$$ Die aufgebrachte Kraft wird die Masse stoppen, also reagiert die Masse mit einer entgegengesetzten Kraft, und da Energie die mögliche Arbeit ist, die von der sich bewegenden Masse geleistet wird. Da ist es dagegen und$v= 0$wir erhalten: $$W = \frac{1}{2}mv_0^2$$ Die Energie hängt nur von der Anfangsgeschwindigkeit ab, da der Impuls (bevor die konstante Kraft wirkt) erhalten bleibt.

Wie leite ich die Formel für die kinetische Energie ab und arbeite nur mit der Impulserhaltung

Hier ist ein Ansatz für die kinetische Energie unter Verwendung der Lagrange-Mechanik .

Die Lagrangedichte für ein freies Teilchen ist einfach die kinetische Energie$T$des Teilchens und die Impulserhaltung wird durch die Euler-Lagrange-Gleichung ausgedrückt (Arbeiten in einer Dimension)

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q} = \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial v} = \frac{dp}{dt} = 0$$

Somit haben wir

$$\frac{\partial T}{\partial v} = p = mv$$

was impliziert

$$T = \frac{mv^2}{2}$$

(Wir hätten Integrationskonstanten einbeziehen und sie dann aus physikalischen Gründen auf Null setzen können.)

Q1 ist$F=\frac{d(mv)}{dt}$nur eine Definition oder steckt "mehr" hinter der Kraftformel?

In Abwesenheit von Kräften der Impuls$P$wird so konserviert$\frac{dP}{dt}=0$. Wenn wir also beobachten, wie sich der Impuls ändert, können wir ihn genauso gut als auf eine Kraft zurückzuführen definieren$F=\frac{dP}{dt}$. Also meiner Meinung nach ist es eine Definition.

Q2 ist$W=\int F\bullet ds$nur eine Definition oder steckt mehr dahinter? Ich meine, können Sie die Formel für die Arbeit nicht ableiten, indem Sie die Formel für die kinetische Energie als gegeben nehmen?

Angenommen, die kinetische Energie$T$ist eine Funktion des Impulses, also$T=f(P)$. Ohne Kräfte bleibt die kinetische Energie erhalten$\frac{dT}{dt}=0$. Eine Kraft bewirkt jedoch, dass sich die kinetische Energie ändert,

$$dT=\frac{df(P)}{dP}dP=\frac{df(P)}{dP}Fdt$$ und wir hätten gerne die übliche Formel für die Arbeit $dT=Fdx$das bedeutet also $\frac{df(P)}{dP}dt=dx$und so, $$\frac{df}{dP}=v=\frac{P}{m}$$ was impliziert, $$T=\frac{P^{2}}{2m}$$ Aus meiner Sicht impliziert also die Formel für Arbeit, dass wir bereits die Formel für kinetische Energie haben.

Q3 Wie leite ich die Formel für die kinetische Energie ab und arbeite nur mit der Impulserhaltung?$\frac{dP}{dt}=0$?

Es ist nur notwendig, die Formel für die Energie zu bekommen, weil die Antwort auf Frage zwei zeigt, dass die Formel für die Arbeit aus der Formel für die Energie folgt.

Um die Energieformel zu erhalten, muss man die Gruppe für die galiläische Raumzeit studieren. Es hat die Lie-Algebra,$[K,P]=m$;$[K,H]=P$;$[P,H]=0$Wo$P$ist Schwung,$H$ist Energie u$K$ist der Geschwindigkeitsschub. Die Impulserhaltung wird durch die dritte Lie-Klammer impliziert, die besagt, dass Impuls mit Energie pendelt. Nun nutzt man die Tatsache, dass die Lie-Algebra eine Darstellung durch die Poisson-Klammern (PBs) der Hamiltonschen Mechanik hat. Der erste PB ist,

$$m=[K,P]=\frac{\partial K}{\partial x}\frac{\partial P}{\partial P} - \frac{\partial K}{\partial P}\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial K}{\partial x}$$ Dies impliziert, dass der Generator von Boosts ist $K=mx$. Verwenden Sie nun diese Formel für den Boost im zweiten PB. $$[K,H]=\frac{\partial K}{\partial x}\frac{\partial H}{\partial P}=m\frac{\partial H}{\partial P}=P$$ und die letzte Gleichheit impliziert, $$\frac{\partial H}{\partial P}=\frac{P}{m}$$ die beim Integrieren bzgl $P$gibt die übliche Formel für die kinetische Energie an $H=\frac{P^{2}}{2m}$und das übliche Symbol $H$(Hamiltonian) wird für kinetische Energie verwendet $T$in diesem Fall.

Feynman hat Formeln für potentielle Energie, kinetische Energie und Arbeit sowie das Impulserhaltungsgesetz abgeleitet, wobei er nichts anderes als das Fehlen einer nachweisbaren Existenz von Perpetuum-Motion-Maschinen annimmt und Newtons zweites und drittes Gesetz annimmt, insbesondere Newtons Definition / Formel für Kraft .

Feynman beginnt mit der Ableitung der Formel für die potenzielle Gravitationsenergie aus den Grundlagen in Kapitel 4 ( http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_04.html ), wobei er nur annimmt, dass der Mensch noch nie gesehen hat, dass Arbeit umsonst erledigt wird ohne der Energieaufwand. Er zeigt ein Experiment, bei dem eine Kugel in der Höhe h 3 Kugeln mit demselben Einzelgewicht wie sie selbst auf die Höhe h/3 heben kann, indem sie sich vollständig absenkt. Bei einer gegebenen Gravitationspotentialenergie (erhalten aufgrund seiner Höhe) ist die Höhe, auf die ein Zielobjekt angehoben werden kann, umgekehrt proportional zum Gewicht dieses Zielobjekts. Somit haben wir:

(ich)${\rm PE} = w h$

Als nächstes kann man sich vorstellen, in verschiedene Höhen über und unter der Erdoberfläche zu gehen und mit einem ausreichend empfindlichen Instrument Folgendes zu entdecken:

(ii) g variiert mit der Höhe: ein fallen gelassenes Objekt beschleunigt mit unterschiedlichen Raten in unterschiedlichen Höhen;

(iii)$w = m g$: Die Kraft, die von einem Objekt ausgeübt wird, z. B. in dem Ausmaß, in dem es eine Feder zusammendrückt, auf der es platziert ist, variiert mit g, das wie in (ii) mit der Höhe variiert.

Also bekommen wir:

(iv) PE = w h = m g h = m a*h

Als nächstes zeigt Feynman das Pendelexperiment (Kap.4.3), bei dem die potentielle Energie, die das Pendel auf der Höhe h hat, vollständig in kinetische Energie umgewandelt wird, wenn es den Boden erreicht, und diese kinetische Energie vollständig wieder in potentielle Energie umgewandelt wird, wenn das Pendel es erreicht oben auf der anderen Seite. Der gesamte Verlust an potentieller Energie während des Pendelschwungs nach unten wird also in kinetische Energie umgewandelt. Deshalb:

d(PE)/dt = –d(KE)/dt

Subsumiert man das Minuszeichen in die Änderungsrichtung von h und expandiert erhält man:

d(KE)/dt = d(mgh)/dt = mgv = mav

das ist:

d(KE)/dt = mv(dv/dt)

Um die Formel für die kinetische Energie KE zu erhalten, integrieren wir obiges:

(v) KE = (1/2)*m**v^2

Als nächstes nimmt Feynman in Kapitel 10 Newtons zweites und drittes Gesetz an:

Zweiter Hauptsatz: Kraft ist die Änderungsrate des Impulses;

Drittes Gesetz: Jede Aktion hat eine gleiche und entgegengesetzte Reaktion)

Feynman kombiniert die beiden Gesetze wie folgt: Wenn wir zwei Objekte mit Impulsen p1 und p2 haben, die frontal kollidieren, dann werden sie nach Newtons drittem Gesetz gleiche und entgegengesetzte Kräfte erfahren, aber diese Kräfte werden durch Newtons zweites Gesetz als d(p1)/ dt und d(p2)/dt, also haben wir:

d(p1)/dt = -d(p2)/dt

dh,

d(p1)/dt + d(p2)/dt = 0

dh,

d(p1+p2)/dt = 0

integrieren, was wir erhalten:

(vi) (p1+p2)_Anfang = (p1+p2)_Ende

das ist das Impulserhaltungsgesetz.

Betrachten Sie als nächstes für die erledigte Arbeit das Feynman-Pendel (Kap. 4.3), wenn es sich am unteren Ende seiner Schwingung befindet. An diesem Punkt gibt es kinetische Energie, aber keine potentielle Energie. Jetzt wirkt die kinetische Energie, um das Pendel auf die Höhe h am gegenüberliegenden Ende zurückzuschieben, arbeitet gegen die Gravitationskraft und wandelt sich dabei vollständig in potentielle Energie um. Wie viel Arbeit wird geleistet? Das ist nichts anderes als mgh, die potentielle Energie, die Feynman zunächst für einen Ball in Höhe h bewies! Also haben wir:

(vii) Arbeit W = mgh = F*h = Kraft * Weg

So hat Feynman Formeln für potentielle Energie, kinetische Energie und Arbeit sowie das Impulserhaltungsgesetz abgeleitet, wobei er nichts als das Fehlen einer nachweisbaren Existenz von Perpetuum-Motion-Maschinen annimmt und Newtons zweites und drittes Gesetz annimmt, insbesondere Newtons Definition / Formel für Kraft.