Depolarisierende Schwelle für CSS-Codes

Vor vielen Jahren, als CSS-Codes zum ersten Mal erfunden wurden, wurde die Fehlerschwelle von p = 0,11 gefunden, wenn Bit- und Phasenwechsel unabhängig sind. Wurde für den Fall des depolarisierenden Rauschens schon eine Schwelle gefunden?

Antworten (3)

Ich glaube nicht, dass der maximale Schwellenwert für alle Codes bekannt ist, aber für bestimmte Codes wurden Schwellenwerte über 15 % angezeigt. Siehe zum Beispiel arXiv:0905.0531 (p=0,155), Phys Rev Lett 104 050504 (p=0,164), arXiv:1006.1362 (p=0,152) und arXiv:quant-ph/0606126 (p=0,188).

@AshleyStephens: Großartige Bearbeitung! Vielleicht hätte es eine eigenständige Antwort sein sollen.

Fragen Sie nach dem Schwellenwert für den Mindestabstand oder die Kanalkapazität? Der Unterschied besteht darin, ob Sie alle Fehler in beheben möchten P N oder weniger Qubits oder nur zufällige Fehler an P N oder weniger Qubits. So wie Sie Ihre Frage formuliert haben, gehe ich davon aus, dass Sie einen zufälligen Fehler beheben möchten P N Qubits.

Wenn Sie einen zufälligen CSS-Code auswählen und ihn korrigieren, indem Sie die kleinste Anzahl von Fehlern finden, die mit dem Syndrom übereinstimmen, glaube ich, dass er asymptotisch bis zu dem Punkt funktionieren sollte, an dem

H 2 ( P ) + P Protokoll 2 ⁡ 3 = 1 ,
Wo H 2 ( P ) ist die binäre Entropiefunktion. Damit ergibt sich eine Fehlerquote von P = 0,189 . Dies ist die gleiche Rate, die Sie für einen zufälligen Stabilisatorcode erhalten.

Der Weg, dies zu sehen, besteht darin, die Anzahl der wahrscheinlichen Fehler mit der Fehlerrate zu zählen P N , und nehmen Sie dann das Protokoll davon, um herauszufinden, wie viele Bits im Syndrom enthalten sein müssen, um sie zu korrigieren. Wenn Sie sich auf wahrscheinliche Fehler beschränken, gibt es das obige Ergebnis, es sei denn, es gibt eine gewisse Abhängigkeit zwischen den Syndrombits. Und mit zufälligen CSS-Codes können Sie zeigen, dass es keine solche Abhängigkeit gibt.

Dies scheint mit dem nicht kompatibel zu sein P = 0,11 Ergebnis für unabhängige Fehler, ist es aber nicht. In dem Fall, in dem die Bitfehler und die Phasenfehler unabhängig sind, können Stabilisatorcodes für eine Rate von arbeiten P = 0,11 Bitfehler u P = 0,11 Phasenfehler, was sich auf eine Rate von auswirkt P = 0,208 totale Fehler.

Die Schwelle für depolarisierendes Rauschen ist nicht bekannt. Es ist bekannt, dass die natürliche Art der Auswahl eines zufälligen CSS- oder zufälligen Stabilisatorcodes den Schwellenwert nicht erreicht. Die neueste Referenz, die mir bekannt ist, ist quant-ph/0604107 von Smith und Smolin, die frühere Arbeiten von Shor und anderen über degenerierte Codes erweitert. Durch die Verwendung eines zufälligen CSS-Codes, der über mehreren Ebenen von Wiederholungscodes verkettet ist, zeigen sie anscheinend einen Schwellenwert von 19,086 % im Vergleich zu 18,93 % aus der Hashing-Grenze (erklärt in Peters Antwort).

(Diese Antwort basiert auf dem schnellen Überfliegen des Smith-Smolin-Papiers, daher habe ich möglicherweise etwas Subtilität verpasst.)

Ich glaube nicht, dass Sie etwas übersehen haben, und ich kenne auch keine späteren Referenzen, die diese Schwelle verbessern.
Danke für deine Antworten. Was genau ist diese Hash-Grenze von 0,189, und warum können die oben beschriebenen Codes sie schlagen? Für den Fall unabhängiger Bit- und Phasenwechsel nehme ich an, dass die entsprechende Grenze H(p_x) + H(p_z) = 1 für p_x die Wahrscheinlichkeit eines Bitwechsels bei jedem Qubit und p_z für einen Phasenwechsel ist. Dies ergibt den Wert 0,11, wenn p_x=p_z. Könnte es einen Code wie den obigen geben, der diese Grenze überschreiten könnte, oder ist dies wirklich das Beste, was jeder Code tun kann?
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