Der Abzug der Hill-Sphere-Formel

Die Hill-Sphäre ist etwas anders als der Roche-Lappen definiert, aber der Radius wird durch die Entfernung zu den Lagrange-Punkten L ₁ und L ₂ angenähert .

Für Kreisbewegungen mit Winkelgeschwindigkeit$\omega$Um den Ursprung haben wir:

$$\ddot{\mathbf{r}} = - \omega^2 \mathbf{r}$$

Die Erdbeschleunigung von einer Punktmasse auf eine andere Masse an Position$\mathbf{r}$ist durch das übliche Abstandsquadratgesetz gegeben:

$$\ddot{\mathbf{r}} = -\frac{Gm}{\left\|\mathbf{r}\right\|^2}\hat{\mathbf{r}}$$

Betrachten Sie nun ein Zweikörpersystem mit Massen$m_1$und$m_2$, durch einen Abstand getrennt$r$umkreisen ihren gemeinsamen Massenmittelpunkt (com) in Abständen$r_1$und$r_2$bzw.

Dies ist ein eindimensionales System, sodass wir von Vektoren auf Skalare umschalten können. Aus der Definition des Massenschwerpunktes haben wir:

$$r_1 = \left(\frac{m_2}{m_1 + m_2}\right) r$$ $$r_2 = \left(\frac{m_1}{m_1 + m_2}\right) r$$

Für die Umlaufbahn von$m_2$um den Massenmittelpunkt ergibt das Gleichsetzen der Fallbeschleunigung mit der erforderlichen Beschleunigung für eine Kreisbewegung:

$$\omega^2 r_2 = \frac{G m_1}{r^2}$$

Und dann ausdrücken$r_2$bezüglich$r_1$ergibt Keplers drittes Gesetz:

$$\omega^2 = \frac{G\left(m_1 + m_2\right)}{r^3}$$

Als nächstes finden wir den Abstand zum L1 _- Punkt, wo sich die Gravitationskräfte des Primär- und Sekundärkreises vereinen, um die erforderliche Beschleunigung für eine kreisförmige Bewegung bereitzustellen. Setzt man die Beschleunigung bei Kreisbewegung mit den Gravitationskräften gleich, ergibt sich:

$$\omega^2 \left(r_2 - h\right) = \frac{G m_1}{\left(r - h\right)^2} - \frac{G m_2}{h^2}$$

Und ersetzen$\omega$ergibt:

$$\frac{\left(m_1 + m_2\right)\left(r_2 - h\right)}{r^3} = \frac{m_1}{\left(r - h\right)^2} - \frac{m_2}{h^2}$$

Dann schreiben Sie dies in Bezug auf das Massenverhältnis um$q = \frac{m_2}{m_1}$und der relative Abstand$z = \frac{h}{r}$, geben:

$$1 - z\left(1 + q\right) = \left(1 - z\right)^{-2} - qz^{-2}$$

Daraus ergibt sich eine quintische Gleichung für$z$, die numerisch gelöst werden muss, da allgemeine Quinten keine algebraischen Lösungen haben (ich werde nicht vorgeben, den Beweis dafür zu verstehen ).

Vorausgesetzt, wir befinden uns in einer Situation, in der$m_1 \gg m_2$, was eine gute Annäherung für die Planeten des Sonnensystems ist, können wir Annäherungen vornehmen, um die Lösung der Quinte zu vermeiden. In diesem Fall ist die Hill-Sphäre viel kleiner als der Abstand zwischen den beiden Objekten, was bedeutet, dass wir ungefähr annähern können:

$$\begin{aligned} 1 + q &\approx 1 \\ \left(1 - z\right)^{-2} &\approx 1 + 2z \end{aligned}$$

Wobei die zweite Zeile die binomiale Annäherung ist . Das gibt:

$$1 - z \approx 1 + 2z - qz^{-2}$$

Zum Auflösen neu anordnen$z$:

$$z^3 \approx \frac{q}{3}$$

Und dann mit den Definitionen von$z$und$q$das wird

$$h \approx r \left(\frac{m_2}{3 m_1}\right)^{1/3}$$

Das ist die übliche Formel für die Größe der Hill-Kugel.

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Für L ₂ befindet sich der Lagrange-Punkt jenseits der Sekundärseite, sodass die Gleichung der Gravitationskraft und der Kreisbewegung lautet:

$$\omega^2 \left(r_2 + h'\right) = \frac{G m_1}{\left(r + h'\right)^2} + \frac{G m_2}{h'^2}$$

Woher$h'$ist der Abstand von der Sekundärseite zum L2 _- Punkt.

Ersatz ein$\omega$und Umschreiben in Bezug auf$q$und$z' = \frac{h'}{r}$gibt:

$$1 + z'\left(1 + q\right) = \left(1 + z'\right)^{-2} + qz'^{-2}$$

Auch dies ergibt eine quintische Gleichung für$z'$, aber wir können ähnliche Annäherungen an den Fall für L ₁ machen :

$$\begin{aligned} 1 + q &\approx 1 \\ \left(1 + z'\right)^{-2} &\approx 1 - 2z' \end{aligned}$$

Das gibt:

$$1 + z' \approx 1 - 2z' + qz'^{-2}$$

Vereinfachen und Ersetzen der Variablen wieder zurück:

$$h' \approx r\left(\frac{m_2}{3m_1}\right)^{1/3}$$

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Dies funktioniert für Kreisbahnen. Bei exzentrischen Umlaufbahnen besteht der übliche Ansatz darin, einfach die Entfernung zu ersetzen$r$mit dem Perizentrumsabstand$a\left(1 - e\right)$wo$a$ist die große Halbachse. Ein strengerer Ansatz wäre, die Winkelgeschwindigkeit am Perizentrum zu verwenden und von dort abzuleiten, aber das überlasse ich dem interessierten Leser als Übung :-)

Die Hill-Sphäre ist nach John William Hill (1812–1879) benannt und ihre einfache Logik folgt aus der Anwesenheit von drei Körpern (nehmen wir an, die Sonne ist die größte Masse mit der Erde als sekundärer Masse und einem Satelliten mit vernachlässigbarer Masse, der die Erde als dritte umkreist). Masse), wobei der Radius der Hill-Sphäre der größte Radius ist, mit dem ein Satellit die Sekundärmasse (in diesem Fall die Erde) umkreisen könnte. Wenn seine Umlaufbahn den Hügelradius überschreitet, fällt er unter den Gravitationseinfluss des ersten Körpers (Sonne) und ist daher kein Satellit des sekundären Körpers mehr.

Man könnte Newtons Gleichungen schreiben, indem man die Idee verwendet, dass der Satellit die gleiche Winkelgeschwindigkeit wie das sekundäre Objekt hat. Das heißt, die Winkelgeschwindigkeit der Erde um die Sonne ist gleich der Winkelgeschwindigkeit des Satelliten um die Sonne. Eine Demonstration der Ableitung sowie der Roche-Grenze finden Sie unter folgendem Link:

http://www.jgiesen.de/astro/stars/roche.htm