Die relativistische kinetische Energie hat keine Obergrenze, warum gibt es also einen Schwarzschild-Radius?

Wenden wir die klassische Mechanik auf ein Punktteilchen mit großer Masse an$M$und ein weiteres Punktteilchen mit kleiner Masse$m$so dass$m << M$, finden wir (unter Verwendung des Newtonschen Gesetzes für die Schwerkraft), dass die potentielle Energie$U$des Systems ist gegeben durch$U = -\frac{GMm}{R}$. Das Teilchen entweicht, wenn die Gesamtenergie (Kinetik + Potential) gleich Null ist, also die Fluchtgeschwindigkeit$v$muss durch gegeben werden

$$v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$$ Und dafür haben wir angenommen, dass die kinetische Energie gegeben ist durch$\frac{mv^2}{2}$. Wenn wir wollen, dass die Fluchtgeschwindigkeit ist$c$, wir werden haben$c = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$, Deshalb: $$R = \frac{2GM}{c^2}$$ Dies impliziert, dass der Ereignishorizont einen Radius hat$R = \frac{2GM}{c^2}$.

Ich nehme an, Ihre Frage basiert auf dem obigen Argument. Sie wollten das Argument korrigieren, indem Sie relativistische kinetische Energie einführten. Dann haben Sie festgestellt, dass die kinetische Energie keine Obergrenze hat und jeden positiven Wert haben kann, und dies scheint unser Ergebnis zu verletzen.

Wo liegt das Problem? Nun, das obige Argument ist fehlerhaft und grundlegend falsch. Ein paar Punkte:

• Wir haben eine klassische Formel für potentielle Energie verwendet. Das bedeutet, dass unser Feld newtonsch ist und dass newtonsche Gravitationsfelder die Relativitätstheorie verletzen. Die relativistische Schwerkraft muss mit der Allgemeinen Relativitätstheorie untersucht werden.

• In der klassischen Mechanik gibt es keine Obergrenze für die potenzielle Energie, da die Newtonschen Gesetze ein Teilchen mit einer Masse ungleich Null zulassen$m$irgendeine Geschwindigkeit haben. Dies verstößt auch gegen die Relativitätstheorie, aber es sollte beachtet werden, dass sowohl die Relativitätstheorie als auch die klassische Mechanik vorhersagen, dass die kinetische Energie so große Werte haben kann, wie wir wollen. Wir können nicht einfach sagen: „ Oh, sagt Relativity$v < c$, dann hat die klassische kinetische Energie eine Obergrenze von$\frac{mc^2}{2}$", das macht keinen Sinn.

• Da die kinetische Energie nicht durch eine Obergrenze begrenzt ist, weder klassisch noch anderweitig, fällt das gesamte Argument auseinander.

Aber wenn das ganze Argument falsch ist, warum gibt es dann die richtige Formel für den Schwarzschild-Radius?

Nun, das ist nur ein Zufall. Die Herleitung ist völlig falsch, gibt aber tatsächlich zufällig die richtige Antwort.

Wie wird dann eigentlich der Schwarzschild-Radius hergeleitet? Wie soll ich dieses Gravitationssystem relativistisch untersuchen?

Nun, hier kommt die Allgemeine Relativitätstheorie ins Spiel. Ihr Versuch, relativistische Korrekturen für das Gravitationsfeld zu erstellen, schlägt fehl, und der richtige Weg, dies zu tun, besteht darin, die Allgemeine Relativitätstheorie zu verwenden. In diesem Fall würden Sie unter Berücksichtigung des totalen Vakuums, ohne Rotation und ohne elektrische Ladung nach der Schwarzschild-Lösung für Einsteins Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie suchen . Schlagen Sie die Schwarzschild-Metrik nach. ( https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric )

Unter Verwendung der Allgemeinen Relativitätstheorie und der Schwarzschild-Metrik finden wir das gleiche Ergebnis für den Schwarzschild-Radius wie die oben gezeigte klassische Herleitung, aber das ist nur ein Zufall.

Zum Beispiel könnten wir das Szenario ändern: Masse herstellen$M$haben Sie eine gewisse Größe und lassen Sie es rotieren. Diesmal gibt die klassische Mechanik denselben Ereignishorizontradius an, aber die tatsächliche Antwort ist anders. ( https://en.wikipedia.org/wiki/Kerr_metric )

Wie in den Kommentaren erwähnt, hatte die Motivation für die Definition des Schwartzschild-Radius nichts mit der Fluchtgeschwindigkeit zu tun. Es ist nur die Entfernung von einem zentralen Körper, wo die Schwartzschild-Metrik, ausgedrückt in Schwartzschild-Koordinaten, singulär wird. Bei normalen Himmelskörpern spielt dies keine Rolle, da der Radius im Inneren des Körpers liegt (bei der Sonne sind es 3,0 Km) , also die Schwartzschild-Lösung dort nicht galt (sie sollte für einen kugelsymmetrischen Bereich des leeren Raums gelten ), aber Später begannen die Leute über die Existenz von Körpern zu spekulieren, die so dicht sind, dass der Schwartzschild-Radius tatsächlich im leeren Raum endet, und so begann er an Bedeutung zu gewinnen. Zufällig stimmt sie mit der von John Michell im 18. Jahrhundert gefundenen Entfernung überein, bei der die Fluchtgeschwindigkeit mit der Lichtgeschwindigkeit zusammenfällt.

Sie können die Energie, einschließlich des kinetischen und potentiellen Anteils in der Allgemeinen Relativitätstheorie wie folgt schreiben:

Dies kann auch geschrieben werden als:

($\hat{r}=\bar{r}/r,\hat{v}=\bar{v}/v$)

Wie hier geschrieben steht, können Sie tatsächlich sehen, dass Sie unendlich viel Energie benötigen, um sich überhaupt auf dem Schwarzschild-Radius von zu bewegen$r=2GM/c^2$. Sie können auch sehen, dass die Energie eines ruhenden Körpers beim Schwarzschild-Radius Null wird. Dies alles für den Fall eines kugelsymmetrischen Gravitationsfeldes.

Es gibt einen Schwarzschild-Radius, weil der Ausdruck für die Energie wie oben aussieht, ist eine Möglichkeit, ihn zu betrachten.