Kann die Schwerkraft ein Objekt über Lichtgeschwindigkeit hinaus beschleunigen?

Dies ist das klassische Problem „einen Stein in ein schwarzes Loch schleudern“. Es wird ausführlich in Beispielproblem 3 in Kapitel 3 von Exploring Black Holes von Edwin F. Taylor und John Archibald Wheeler beschrieben. Übrigens empfehle ich dieses Buch dringend, wenn Sie daran interessiert sind, etwas über Schwarze Löcher zu lernen. Es erfordert etwas Mathematik, daher ist es kein Buch für die breite Öffentlichkeit, aber die Mathematik ist im Vergleich zu den üblichen GR-Lehrbüchern ziemlich einfach.

Die Antwort auf Ihre Frage lautet, dass niemand beobachtet, dass sich der Stein (in Ihrem Beispiel Proton) schneller als Licht bewegt, egal wie schnell Sie ihn auf das Schwarze Loch werfen.

Ich habe dies sorgfältig formuliert, weil es in GR keinen Sinn macht, Fragen wie "wie schnell bewegt sich der Stein" zu stellen, es sei denn, Sie geben an, von welchem ​​​​Beobachter Sie sprechen. Generell betrachten wir zwei verschiedene Arten von Beobachtern. Der Schwarzschild-Beobachter sitzt im Unendlichen (oder weit genug entfernt, um effektiv im Unendlichen zu sein) und der Schalenbeobachter sitzt in einer festen Entfernung vom Ereignishorizont (feuert die Raketen seines Raumschiffs ab, um an Ort und Stelle zu bleiben).

Diese beiden Beobachter sehen sehr unterschiedliche Dinge. Für den Schwarzschild-Beobachter beschleunigt der Stein zunächst, verlangsamt sich dann aber bis er auf den Horizont trifft. Der Schwarzschild-Beobachter wird niemals sehen, wie der Stein den Ereignishorizont überquert, oder nicht, es sei denn, er ist bereit, eine unendliche Zeit zu warten.

Der Muschelbeobachter sieht den Stein mit einer Geschwindigkeit vorbeifliegen, die geringer ist als die Lichtgeschwindigkeit, und je näher der Muschelbeobachter dem Ereignishorizont kommt, desto schneller sieht er den Stein vorbeifliegen. Wenn der Granatenbeobachter am Ereignishorizont sitzen könnte (ohne eine unendlich starke Rakete geht das nicht), würde er den Stein mit Lichtgeschwindigkeit vorbeiziehen sehen.

Um die Flugbahn eines geschleuderten Steins zu berechnen, berechnen Sie zunächst die Flugbahn eines Steins, der im Unendlichen aus der Ruhe fällt. Ich werde nicht alle Details aus dem Buch von Taylor und Wheeler wiederholen, da sie etwas kompliziert sind und Sie das Buch überprüfen können. Stattdessen zitiere ich einfach das Ergebnis:

Für den Schwarzschild-Beobachter:

$$\frac{dr}{dt} = - \left( 1 - \frac{2M}{r} \right) \left( \frac{2M}{r} \right)^{1/2}$$

Für den Schalenbeobachter:

$$\frac{dr_{shell}}{dt_{shell}} = - \left( \frac{2M}{r} \right)^{1/2}$$

Diese Gleichungen verwenden geometrische Einheiten, also ist die Lichtgeschwindigkeit 1. Wenn Sie sagen$r = 2M$Um die Geschwindigkeiten am Ereignishorizont zu finden, finden Sie den Schwarzschild-Beobachter$v = 0$und der (hypothetische) Shell-Beobachter bekommt$v = 1$(dh$c$).

Aber dies war für einen Stein, der im Ruhezustand von der Unendlichkeit begann. Angenommen, wir geben dem Stein zusätzliche Energie, indem wir ihn werfen. Das heißt, es entspricht einem Objekt, das mit endlicher Geschwindigkeit aus dem Unendlichen startet$v_\infty$. Wir definieren$\gamma_\infty$als der entsprechende Wert des Lorentzfaktors . Auch hier gebe ich nur das Ergebnis wieder, das lautet:

Für den Schwarzschild-Beobachter:

$$\frac{dr}{dt} = - \left( 1 - \frac{2M}{r} \right) \left[ 1 - \frac{1}{\gamma_\infty^2}\left( 1 - \frac{2M}{r} \right) \right]^{1/2}$$

Für den Schalenbeobachter:

$$\frac{dr_{shell}}{dt_{shell}} = - \left[ 1 - \frac{1}{\gamma_\infty^2}\left( 1 - \frac{2M}{r} \right) \right] ^{1/2}$$

Vielleicht ist es bei einem kurzen Blick auf die Gleichungen nicht offensichtlich, dass beides nicht der Fall ist$dr/dt$noch$dr_{shell}/dt_{shell}$überschreitet die Unendlichkeit, aber wenn Sie die Anfangsgeschwindigkeit Ihres Steins auf nahe erhöhen$c$der Wert von$\gamma_\infty$geht zu$\infty$und damit 1/$\gamma^2$geht auf null. In dieser Grenze ist leicht zu erkennen, dass die Geschwindigkeit niemals überschritten wird$c$.

In seinen Kommentaren sagt Jerry mehrmals, dass die Geschwindigkeit überschritten wird$c$erst nach Überschreiten des Ereignishorizonts. Während Jerry viel mehr über GR weiß als ich, würde ich ihn dafür zur Rechenschaft ziehen. Für den Schwarzschild-Beobachter trifft das sicherlich nicht zu, und Sie können nicht einmal im Prinzip einen Muschelbeobachter innerhalb des Ereignishorizonts haben.

Jerrys Kommentar ist perfekt. Ich erkläre nur etwas, das ich verstanden habe...

Ich würde raten, dass normale Schwarze Löcher viel besser sind als die supermassiven. Weil sie die größten von ihnen sind und daher effektiv weniger Gravitationswirkung auf Ihr Proton haben.

Wie auch immer, die Antwort ist aus zwei Gründen NEIN - Erstens sind Newtons Gesetze (wie die Beschleunigung von Protonen) relativ zum Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs unbrauchbar. Und zweitens schränkt die Relativitätstheorie im Allgemeinen eine Bewegung ein , die schneller als Licht ist ...! Die Relativitätstheorie kommt zu dem Schluss, dass Sie diese Bewegungen relativ und nicht absolut messen würden. Also benutzen wir einen Beobachter wie Sie. Die Allgemeine Relativitätstheorie sagt, dass die Schwerkraft sowohl Raum als auch Zeit beeinflusst, um sich zu biegen und dabei einen kürzeren Weg zu nehmen, den unsere Jungs es nennen - "eine geodätische Bewegung" ...

OK. Nun zu Ihrer Frage... Nehmen wir an, Sie senden etwas Ähnliches wie einen Laserstrahl aus Protonen. Wenn Sie diese Protonen sehen können, sehen Sie definitiv einen rotverschobenen Strahl (der mit zunehmender Entfernung immer dunkler wird), wenn er sich dem Horizont nähert (ignorieren wir einfach, dass er verschwindet ). Jetzt drehen sich alle Pfade der Protonen zum Ereignishorizont des Schwarzen Lochs, wo sich auch die Raumzeit immer weiter krümmt. Sogar Licht biegt ab und nimmt dabei den kürzesten Weg (der beschleunigt zu sein scheint). Anstatt "beschleunigt" zu erwähnen, sagt die Relativitätstheorie, dass es "gekrümmt" wird. Daher würde ich zu dem Schluss kommen, dass Sie zu keinem Zeitpunkt die Lichtgeschwindigkeit überschreiten würden.

Ich zitiere auch Jerrys Kommentar: Die Protonen scheinen sich relativ zu Ihnen schneller als das Licht zu bewegen, aber Sie können das in diesem Fall nicht beobachten, weil wir nichts innerhalb des Schwarzen Lochs beobachten können.