Differenzierung und Deltafunktion

Benötigen Sie Hilfe bei dieser einfachen Unterscheidung. Betrachten Sie 4 d euklidische (oder Minkowskische) Raumzeit.

∂ μ ( A − X ) μ ( A − X ) 4 = ?
Wo A μ ist ein konstanter Vektor und die Indizes werden summiert, da man sich im flachen Raum wirklich nicht um obere und untere Indizes kümmern muss. Auch ( A − X ) 2 = ( A − X ) μ ( A − X ) μ . Eine einfache Rechnung liefert mir das Ergebnis 0 . Aber ich denke, die Antwort kann eine Dirac-Delta-Funktion wie die folgende Beziehung in 3 Dimensionen enthalten
∇ . R ^ R 2 = 4 π δ 3 ( R )
Eine Folgefrage. Was sein wird ∂ μ 1 ( A − X ) 2 ? Ist es 2 ( A − X ) μ ( A − X ) 4 oder geht es auch um die Delta-Funktion?

Antworten (1)

  1. In einem D -dimensionalen euklidischen Raum (mit positiver definiter Norm) hat

    (1) ∇ → ⋅ R → R D   =   v Ö l ( S D − 1 )   δ D ( R → ) ,
    vgl. das Divergenztheorem und Argumente, die entweder Testfunktionen und partielle Integration beinhalten, oder ϵ -Regularisierung, ähnlich den Methoden, die in meiner Phys.SE-Antwort hier angewendet werden . In Gl. (1) die v Ö l ( S D − 1 ) ist die Oberfläche der ( D − 1 ) -dimensionale Einheiten Sphäre S D − 1 .

  2. Durch ähnliche Argumente kann man zeigen, dass die Identität

    (2) ∇ → ( R 2 − D )   =   ( 2 − D ) R → R D , D ≠ 2 ,
    enthält keine Verteilungsbeiträge in D -dimensionaler euklidischer Raum.

  3. Für die verwandten Fragen im Minkowski-Raum ist ein Vorschlag, an einzuführen ϵ -Regularisierung in der euklidischen Formulierung, und dann eine Wick-Rotation durchführen , und am Ende der Berechnung lassen ϵ → 0 + .

Danke Qmechaniker. Das Aufschreiben Ihrer Gleichung in der Indexnotation ergibt
∂ μ X μ X 2 = 2 π 2 δ 4 ( X )
in 4d, das ist das Ergebnis, das ich wollte. Jetzt sieht es ein bisschen albern aus, die Frage überhaupt gestellt zu haben.
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