Dilatonfeld und Bruch der Skalensymmetrie

Der Dilatator$\sigma$ist das Goldstone-Boson der Skaleninvarianz. Transformationen skalieren$x\rightarrow x/\lambda$werden nichtlinear erzeugt, z

$$\sigma(x)\rightarrow \sigma(\lambda x)+f \log\lambda\,,\qquad \lambda>0$$ Wo $f$die Zerfallskonstante des Dilatons ist (siehe unten). Eine effektive Feldtheorie für dieses Goldstone - Boson lässt sich leicht mit folgendem Trick schreiben , der zB in diesem sehr schönen Artikel beschrieben wird . Definieren Sie insbesondere $\chi(x)=f e^{\sigma(x)/f}$so dass unter Maßstab Transformation $\chi$verhält sich wie ein Feld der Skalierungsdimension $1$ $$\chi(x)\rightarrow \lambda\, \chi(\lambda x)\,.$$ Mit diesem Feld können Sie jetzt Ihren skaleninvarianten Lagrangian erstellen, der die effektive Theorie des Dilatons beschreibt: Es ist eine Erweiterung der Ableitungen $\mathcal{L}(\chi)= \sum_{n} \mathcal{L}^{(2n)}$wo die Lagrange $\mathcal{L}^{(n)}$Ist $$\begin{equation} \mathcal{L}^{(2n)}=\sum_{m\geq 0} \frac{a_{n,m}}{(4\pi)^{2n-2}f^{2n-4}}\frac{\partial^{2n}\chi^m}{\chi^{2n+m-4}} \end{equation}$$ wobei die Derivate auf alle möglichen Arten zwischen die eingefügt werden $\chi^m$. Die Logik besteht darin, alle Operatoren mit Skalierungsdimension 4 zu schreiben, damit die Aktion $S=\int d^4 x \mathcal{L}$wird skaleninvariant sein (vorausgesetzt, dass $d^4 x\rightarrow \lambda^{-4}d^4 x$). Kann man sich grundsätzlich denken $\chi$als konformer Kompensator: bilde eine Lorentz-Invariante und dividiere sie durch genügend Potenzen von $\chi$um Dimension 4 zu machen. Beachten Sie, dass ein Term ohne Ableitungen, im Gegensatz zu den üblichen Goldstone-Bosonen interner Symmetrien, stattdessen erlaubt ist: $\mathcal{L}^{(4)}=(4\pi)^2a_{0,0}\chi^4$.

Darüber hinaus, wenn das Dilaton nicht der einzige Lichtzustand in der effektiven Theorie ist, der durch das spontane Brechen der Symmetrie übrig bleibt, müssen andere Terme, die die Skaleninvarianz zu brechen scheinen, durch die Einfügungen des Goldstone kompensiert werden, damit die Dynamik invariant ist (wohingegen die Zustände der Theorie nicht). Da Sie zum Beispiel QCD erwähnt haben, könnte man sich fragen, ob die RG-Evolution von einem spontanen Brechen der Skaleninvarianz herrührt. Einige Teilchen, die zu den Beta-Funktionen beigetragen haben (die in einer ununterbrochenen skaleninvarianten Theorie Null waren), werden nach dem spontanen Symmetriebruch massiv, entkoppeln sich dann und tragen nicht dazu bei$\beta$mehr, was in der Tat ein Ungleichgewicht hinterlässt$\beta$Beginnen Sie mit dem Laufen von der Symmetrie-Skala, die auf kleinere Energieskalen herunterbricht. In der Praxis weiß man, dass die Kopplung von der Skala logarithmisch verläuft$f$der Symmetrie, die auf eine beliebige IR-Skala herunterbricht$\mu_{IR}$

$$\mathcal{L}_{gauge}=-\frac{F^2_{\mu\nu}}{4g^2(\mu_{IR})}=-\frac{F_{\mu\nu}^2}{4}\left[\frac{1}{g^2(\mu_{UV})}+\frac{b_{IR}}{(4\pi)^2}\log\frac{f}{\mu_{IR}}\right]$$ Aber die Waage $f$trat spontan auf und muss dann durch Einsetzen eines Dilatons kompensiert werden, um die Skaleninvarianz wiederherzustellen, $f\rightarrow f e^{\sigma(x)/f}=\chi(x)$, so dass man die Kopplung zwischen den Eichbosonen und dem Dilaton sofort ablesen kann $$\begin{align} \mathcal{L}_{gauge} & \rightarrow -\frac{F_{\mu\nu}^2}{4}\left[\frac{1}{g^2(\mu_{UV})}+\frac{b_{IR}}{(4\pi)^2}\log\frac{f e^{\sigma(x)/f}}{\mu_{IR}}\right]\\ =& \mathcal{L}_{gauge}-\frac{b_{IR}}{(4\pi)^2 f}\sigma(x)F_{\mu\nu}^2\,. \end{align}$$ Wie Sie sehen können, verbindet sich der Dilaton mit dem $\beta$Funktion. Wenn angenommen wird, dass ein Massenterm aufgrund der spontanen Symmetriebrechung der Skaleninvarianz entsteht, muss er analog mit der Dilaton-Einfügung kompensiert werden. Zum Beispiel $$\begin{equation} m\bar{\psi}\psi\rightarrow \frac{m}{f}\chi(x)\bar{\psi}\psi=\frac{m}{f}\bar{\psi}\psi\left[f+\sigma(x)/f+\ldots\right]. \end{equation}$$ Im Allgemeinen jeder Betreiber $\mathcal{O}(x)$im Lagrangian mit Skalierungsdimension $\Delta\neq 4$wird durch Dilaton-Einfügungen kompensiert, um die Skaleninvarianz wiederherzustellen $$\mathcal{O}(x)\rightarrow \frac{\chi}{f}^{4-\Delta}(x)\mathcal{O}(x)=\mathcal{O}(x)\left[1+(4-\Delta) \sigma(x)/f+\ldots\right]$$ Mit anderen Worten, die Dilatonkopplung an jedes Feld ist proportional zur Skalierungsdimension $4-\Delta$. Im Fall des Eichfelds ist die Beta-Funktion tatsächlich proportional zur anomalen Dimension. Man kann das ganze Ergebnis auch auf andere Weise zeigen: Goldstone-Bosonen koppeln an die Ableitung des Stroms, der die spontan gebrochene Symmetrie erzeugt. In diesem Fall koppelt der Dilaton an den Dilatationsstrom $D^\mu$als $$\int d^4x \frac{1}{f}\partial_\mu\sigma D^\mu=-\int d^4x \frac{\sigma(x)}{f} \partial_\mu D^\mu =-\int d^4x \frac{\sigma(x)}{f} T_\mu^\mu$$ Wo $T_\mu^\mu$ist die Spur des Energie-Impuls-Tensors, der tatsächlich die Operatoren mit Dimension enthält $\Delta\neq 4$und Kopplung, gegeben durch die „anomalen“ Dimensionen $\propto 4-\Delta$. Viele weitere Details können in dem oben erwähnten Papier und in der darin enthaltenen Referenz gefunden werden .