Dimension der Cantor-Menge im Kontext zellularer Automaten

Ich lese gerade das Buch "Cellular Automata and Complexity" von Wolfram. Auf Seite 426 gibt er ein sehr intuitives Bild, das zeigt, warum jeder zelluläre Automat in den Zustand kommt { 0 , 1 } ∞ , kann eindeutig mit einem Punkt in der Cantor-Menge identifiziert werden:Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Die obige Konstruktion gilt für jede verallgemeinerte Cantor-Menge, nicht nur für die bekannte ternäre. Der Screenshot aus Wikipedia unten zeigt eine intuitive Formel, die die fraktale Dimension einer verallgemeinerten Cantor-Menge angibt.Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Also meine Frage: All dies scheint zu implizieren, dass die fraktale Dimension von { 0 , 1 } ∞ hängt ganz von Ihrer Wahl ab γ ? Warum ist die fraktale Dimension nicht festgelegt? Der Grund, warum ich das frage, ist, weil Wolfram auf der nächsten Seite weiter sagt: „Die Dimension der Cantor-Menge aller möglichen Konfigurationen für einen unendlichen eindimensionalen zellulären Automaten ist 1. Ein ungeordnetes Ensemble, in dem jede mögliche Konfiguration tritt mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf, hat also Dimension 1." Wie kann { 0 , 1 } ∞ haben Dimension 1? Bedeutet das, dass Wolfram willkürlich einstellt γ = 0 ?

Darüber hinaus sagt er, dass die irreversible Zeitentwicklung dazu führt, dass sich der Zustandsraum des zellulären Automaten zu einem Attraktor zusammenzieht, der ein Cantor-Set mit fraktaler Dimension ist < 1 und gibt ein Beispiel, wo die oberste Zeile darstellt { 0 , 1 } ∞ und die Linien unten stellen das Ensemble der zellulären Automatenkonfigurationen in jedem nachfolgenden Zeitschritt dar:

Bedeutet dies, dass die Zeitentwicklung des zellularen Automaten einfach den Wert von ändert γ ?

Zusammenfassend: Der Begriff der fraktalen Dimension ist in der Theorie dynamischer Systeme wesentlich, aber im Fall von zellulären Automaten scheint dieses Konzept bedeutungslos zu sein, da es von Ihrer Wahl abhängt γ . Der Sinn eines Attraktors besteht darin, dass bestimmte Konfigurationen im Zustandsraum nach einer gewissen Zeit nicht mehr zugänglich sind. Da der Attraktor jedoch ein Cantor-Raum ist und jeder Cantor-Raum (unabhängig von seiner Dimension) identifiziert werden kann { 0 , 1 } ∞ , es scheint, dass selbst in der unendlichen Zeitbegrenzung alle Konfigurationen zugänglich bleiben.

Topologisch ist die Dimension jeder Cantor-Menge gerecht 0 . Andere Begriffe beinhalten Metrik oder Maß und sind nicht topologisch.

Antworten (1)

Die Hausdorff-Dimension ist eine Invariante eines metrischen Raums , kein topologischer Raum. Es hängt also von der Wahl der Metrik ab. Die Cantor-Menge als topologischer Raum bettet sich ein in R auf verschiedene Arten und jede davon gibt ihm eine andere induzierte Metrik und damit a priori eine möglicherweise andere Hausdorff-Dimension.

Mit anderen Worten, es gibt keine "fraktale Dimension der Cantor-Menge", sondern nur die mit einer Metrik ausgestattete fraktale Dimension der Cantor-Menge und insbesondere die mit einer bestimmten Einbettung ausgestattete fraktale Dimension der Cantor-Menge R (oder irgendein anderer metrischer Raum).

Ich habe keine Ahnung, auf welchen Begriff der Dimension sich Wolfram in dem von Ihnen zitierten Auszug bezieht.

Bearbeiten:

Der Sinn eines Attraktors besteht darin, dass bestimmte Konfigurationen im Zustandsraum nach einer gewissen Zeit nicht mehr zugänglich sind. Da der Attraktor jedoch ein Cantor-Raum ist und jeder Cantor-Raum (unabhängig von seiner Dimension) identifiziert werden kann { 0 , 1 } ∞ , es scheint, dass selbst in der unendlichen Zeitbegrenzung alle Konfigurationen zugänglich bleiben.

Ich verstehe die Details dieses Beispiels nicht, aber das folgt nicht. Der Attraktor kann eine kleinere und andere Cantor-Menge sein, die nicht der gesamte ursprüngliche Zustandsraum ist.

Ich verstehe. Wolfram gibt die Metrik nicht an, aber ich vermute, es ist einfach die gewöhnliche Abstandsfunktion, wie sie auf den reellen Zahlen definiert ist. (Die von mir verlinkte Wikipedia-Seite gibt die Metrik ebenfalls nicht an, daher keine Hilfe). en.wikipedia.org/wiki/List_of_fractals_by_Hausdorff_dimension
@Milan: Der Wikipedia-Artikel spricht von verschiedenen Cantor-Mengen, die als Unterräume von konstruiert sind [ 0 , 1 ] , sie beziehen sich also implizit auf die induzierte Metrik aus dieser Einbettung. Alle entsprechenden Hausdorff-Dimensionen liegen strikt dazwischen 0 Und 1 Wolfram kann sich also bei diesen Einbettungen nicht auf die Hausdorff-Dimension beziehen.
OK. Danke für deine bisherige Hilfe. Dieser Satz aus dem Buch mag hilfreich sein: „Die klassische Cantor-Menge besteht aus reellen Zahlen im Intervall [0, 1], deren ternäre Zerlegung nur die Ziffern 0 und 2 enthält 3 B gleich bins, das ist klar 2 B dieser Behälter enthalten Punkte im Satz. Die Dimension des Sets ist somit Protokoll 3 ⁡ 2 ." Könnte es sein, dass Wolfram das Intervall [0, 1] einfach als verallgemeinerten Cantorraum mit betrachtet γ = 0 ?
@Milan: In dem Satz, den du zitierst, bezieht sich Wolfram sehr deutlich auf das Set { 0 , 1 } ∞ . Auch hier weiß ich einfach nicht, auf welchen Begriff der Dimension er sich in diesem Satz bezieht.
Bedeutet die Tatsache, dass die Dimension der ternäre Cantor-Raum ist Protokoll 3 ⁡ 2 bedeutet nicht, dass er sich auf die Hausdorff-Dimension bezieht, wobei die Metrik die reguläre Metrik ist R ? Dies ist der einzige Begriff der Dimension, der mit allen spezifischen Beispielen im gesamten Buch übereinstimmt. Wenn Wolfram also nicht zwischen verschiedenen Metriken hin und her springt, ohne den Leser zu benachrichtigen, kann ich davon ausgehen, dass alle seine Beispiele und Argumente diese Definition von Dimension annehmen.
@Milan: In dem Satz, den Sie zitieren, sagt er, dass die Dimension ist 1 . Dies ist weder die Hausdorff-Dimension der ternären Cantor-Menge noch die topologische Dimension der Cantor-Menge mit ihrer üblichen Topologie (d 0 ). Also kann er sich auf keines von beiden beziehen, und ich weiß nicht, welche Alternativen es gibt.
Dimension der Cantor-Menge im Kontext zellularer Automaten
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v