Dirac-Delta-Funktion in der Ableitung der Goldenen Regel von Fermi

Question

Dirac-Delta-Funktion in der Ableitung der Goldenen Regel von Fermi

Energie
Physik
Quantenmechanik
fermis-goldene-regel
Störungstheorie
Dirac-Delta-Verteilungen

Andri Jahari

Ich folgte Mark Thomsons Modern Particle Physics und blieb bei der Ableitung von Fermis Goldener Regel in diesem Buch hängen (auf Seite 53):

"... Wenn es d $n$ zugängliche Endzustände im Energiebereich $E_f \rightarrow E_f +dE_f$ , dann die Gesamtübergangsrate $\Gamma_{fi}$ wird von gegeben
$\begin{matrix} (A) & Γ_{F ich} = 2 π \int | T_{F ich} |^{2} \frac{D N}{D E_{F}} lim_{T \to \infty} {\frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{- \frac{T}{2}} e^{ich (E_{F} - E_{ich}) T} δ (E_{F} - E_{ich}) D T} D E_{F} . \end{matrix}$ $\begin{equation} \Gamma_{fi} = 2\pi \int|T_{fi}|^2 \frac{dn}{dE_f} \lim_{T\rightarrow \infty} \left\{ \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{-\frac{T}{2}} e^{i(E_f - E_i)t} \delta(E_f-E_i) dt \right\}dE_f \tag{A}. \end{equation}$ Die Delta-Funktion im Integral impliziert das $E_f=E_i$ und deshalb $(\text{A})$ kann geschrieben werden $\begin{matrix} (B) & Γ_{F ich} = 2 π \int | T_{F ich} |^{2} \frac{D N}{D E_{F}} δ (E_{F} - E_{ich}) lim_{T \to \infty} {\frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{- \frac{T}{2}} D T} D E_{F} . \end{matrix}$ $\begin{equation} \Gamma_{fi} = 2\pi \int|T_{fi}|^2 \frac{dn}{dE_f} \delta(E_f-E_i) \lim_{T\rightarrow \infty} \left\{ \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{-\frac{T}{2}} dt \right\}dE_f \tag{B}. \end{equation}$ ... (usw) "

Aufgrund der Erklärung zwischen den Schritten verstehe ich nicht warum $E_f$ Und $E_i$ sollte gleich sein. Ich weiß, dass in Ordnung für $E_f$ gleich sein wie $E_i$ , die Dirac-Delta-Funktionen sollen mit dem Exponenten integriert werden, aber das ist nicht der Fall. Jede Erklärung dafür wäre willkommen.

Nihar Karve

Fragst du warum

E_{f}

$E_f$ gleichgesetzt wird

E_{i}

$E_i$ im

t

$t$ -integral, obwohl es nicht integriert ist?

Andri Jahari

@NiharKarve ja, das frage ich mich

QMechaniker

FWIW, die goldene Fermi-Regel wird in meiner Phys.SE-Antwort hier abgeleitet .

Antworten (2)

Dirac-Delta-Funktion in der Ableitung der Goldenen Regel von Fermi

Fragst du warum $E_f$ gleichgesetzt wird $E_i$ im $t$ -integral, obwohl es nicht integriert ist?
FWIW, die goldene Fermi-Regel wird in meiner Phys.SE-Antwort hier abgeleitet .

Durch Symmetrie · Answer 1

Dies ist nur eine Anwendung der Regel

\begin{aligned} \int D X F (X) G (X) δ (X - j) = F (j) G (j) & = F (j) \int D X G (X) δ (X - j) \\ = \int D X F (j) G (X) δ (X - j) \end{aligned}

$\begin{align} \int dx\;f(x)g(x) \delta(x-y) = f(y)g(y) &= f(y)\int dx\; g(x)\delta(x-y)\\ &= \int dx\; f(y)g(x) \delta(x-y) \end{align}$ wobei wir die Definition der Delta-Funktion verwendet haben. Intuitiv ist das Dirac-Delta null, außer wo sein Argument verschwindet, also der Wert

f

$f$ ist nur an diesem Punkt von Bedeutung, damit wir die Ersetzung vornehmen und die gleiche Antwort erhalten können.

Hier $f$ ist die scheinbar komplizierte Funktion

F (E_{F}) = lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} D T e^{ich (E_{F} - E_{ich}) T}

$f(E_f) = \lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} dt \;e^{\imath (E_f-E_i) t}$ Und

G (E_{F}) = | T_{ich F} |^{2} \frac{D N}{D E_{F}}

$g(E_f) = |T_{if}|^2 \frac{d n}{dE_f}$

Ich will nur sichergehen, meinen Sie $f(E_f)$ , $g(E_f)$ , Und $E_f-E_i$ auf dem Exponententeil in $f(E)$ ?

PrawwarP · Answer 2

Ich denke, das lässt sich mit einem Verweis auf die Wikipedia-Seite zum Dirac-Delta schnell lösen:

Ansatz 1) Wenn T gegen unendlich geht, wird das Integral zum Delta der Energiedifferenz, sodass es möglicherweise ein Quadrat von Dirac-Deltas gibt, das mit einem Dirac-Delta identisch ist. Ich bin mir jedoch nicht sicher, warum die Division durch T im Dirac-Delta absorbiert werden kann ... Wie unten kommentiert, ist dies physikalisch unvernünftig.

Ansatz 2): Die Antwort ist einfacher als Möglichkeit 1 - die Definition des Dirac-Deltas bedeutet, dass das Argument hier $E_i-E_f$ , ist Null. Dies wird verwendet, um das Argument des Exponentials auf Null zu setzen.

Ansatz 2 scheint das zu sein, was hier verwendet wurde. Wenn Sie die Wikipedia-Seite zum Dirac-Delta lesen, können Sie möglicherweise verstehen, warum dies so ist.

Das Quadrat der Deltas ist schlecht definiert. Aber es könnte sein, dass das erste Delta nicht vorhanden sein sollte und dann als Folge der von Ihnen erklärten Mathematik hinzukommt.
Ich stimme zwar zu, dass das Quadrat von Deltas schlecht definiert ist, aber ich denke, dass die meisten Physiker die Definition mit Unendlichkeit einfach quadrieren würden, wenn das Argument 0 und 0 ist, andernfalls, indem sie die Komponenten in dieser stückweise definierten Definition quadrieren. In diesem Fall besteht eine gute Chance, dass der Autor (als Mitglied der "meisten Physiker") verwendet, dass das Quadrat eines Dirac-Deltas dasselbe Dirac-Delta ist. Daher habe ich in meiner Antwort eine solche Annahme getroffen.
Ich weiß, dass Physiker immer gerne mathematisch schlampig sind (schließlich bin ich selbst einer), aber das ist kein solcher Fall. Ein quadriertes Dirac-Delta bedeutet mit ziemlicher Sicherheit, dass bei der Berechnung ein Fehler aufgetreten ist, da dies ein physikalisch unendliches Ergebnis implizieren würde. Im Physikstil geschrieben: $\int dx \delta(x) \delta(x) = \delta(0) = \infty$ .
@PrawwarP Vielen Dank, Ansatz 2 ist das, was ich versuche, mich selbst zu überzeugen. Ich würde gerne für Ihre Antwort stimmen, aber ich bin noch neu hier, also kann ich nicht.

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