Energieerhaltung für endliche Zeiten in der Goldenen Regel von Fermi

Bei der Herleitung der Goldenen Regel von Fermi für die Anwendung einer plötzlichen konstanten Störung erhalten wir die folgende Formel für die Rate:

P F ← ich ( T ) = | ⟨ F | v | ich ⟩ | 2 4 Sünde 2 ⁡ ( ω F ich T 2 ) ( E F − E ich ) 2

Es ist dann Standard, das als zu zeigen T → ∞ , verwandelt sich die Sinc-Funktion in ein Delta und es wird Energie gespart. Ich habe jedoch Fragen zur scheinbaren "Nicht-Energieerhaltung" zu endlichen Zeiten.

Ich verstehe, dass Energie keinen Grund hat, Energie zu sparen, da es eine plötzliche zeitabhängige Änderung des Hamilton-Operators gegeben hat, aber bestimmte Aspekte davon scheinen rätselhaft zu sein.

  1. Die Sinc-Funktion hat mehrere "kleinere Spitzen" um die Hauptspitze herum. Was macht diese anderen Energien so „begünstigt“, dass das System im Vergleich zu den anderen Energien zu ihnen springen kann?

  2. Wohin geht die von der Störung gelieferte Anfangsenergie nach unendlicher Zeit? Gehe ich richtig in der Annahme, dass es in der unendlichen Zeitgrenze vom System zur Störung zurückgeführt wird, sodass schließlich Energie gespart werden kann?

  3. Anders verhält es sich in der Situation, in der die Störgröße unendlich langsam proportional dazu einschaltet e ϵ T . Macht dieses langsame (nicht plötzliche) Einschalten plötzlich die Dinge adiabat und beseitigt etwas von dieser Energieeinsparungsverwirrung?

Ich glaube nicht, dass diese Frage zu viel von meiner Frage beantwortet, aber danke
Ist nicht T die Zeitdauer, für die die Störung angewendet wird? Wie kann T → ∞ und die Störung ist auch plötzlich?
Denn die Störung schaltet sich bei t=0 immer noch schlagartig und schlagartig ein

Antworten (1)

Versteckter Teil des Eisbergs der goldenen Fermi-Regel
Ich denke, ein Teil des Problems könnte verschwinden, wenn wir die Energieeinsparung in strengere Begriffe fassen, die für Berechnungen geeignet sind. Erhaltungssätze folgen aus den Symmetrien der Raumzeit und manifestieren sich in der mathematischen Form der physikalischen Gleichungen. In der klassischen Mechanik treten sie als erste Integrale der Gleichungen auf, in der Quantenmechanik hingegen als Kommutierung zwischen den Erhaltungsgrößen und dem Hamiltonoperator. In diesem Sinne bleibt die Energie des Gesamtsystems immer erhalten, es sei denn, der Hamiltonoperator ist explizit zeitabhängig.

Die goldene Fermi-Regel ist ein nützliches Werkzeug für Berechnungen und lässt sich leicht unter Verwendung der grundlegenden Quantenmechanik ableiten, was den Eindruck von Einfachheit vermittelt. Es gibt jedoch eine Menge Dinge, die in diesen Ableitungen unter dem Teppich verborgen sind (siehe z. B. diese Antwort ), normalerweise in Form von Annahmen, die in Ableitungen eher vage angegeben sind. Lassen Sie mich einige konkrete Punkte ansprechen:

  • Im Umgang mit der goldenen Fermi-Regel ist der Hamilton-Operator explizit zeitabhängig, sodass die Energieerhaltung nicht gilt.
  • Das interessierende System ist nur ein Teil des Ganzen - der andere Teil ist das als klassisch geltende Antriebsfeld, das dem System Energie zuführen und entziehen kann.
  • Es gibt einen impliziten Dephasierungsmechanismus, der das System in einem der Zustände lokalisiert – dieser Mechanismus erscheint normalerweise entweder in Bezug auf die endliche Dichte der Endzustände (ad-hoc eingeführt) oder als Grenzübernahme T → + ∞
  • Die Dephasierung ist stark genug, um Übergänge zu verhindern F → ich , dh die Rabi-Oszillationen .
  • Eine andere Möglichkeit, die Dephasierung zu verdeutlichen: Wir betrachten nur P ich → F ( T ) = D D T | C F ( T ) | 2 , dh nur ein Element der Dichtematrix, wobei seine nichtdiagonalen Terme vernachlässigt werden.

Vollständige Beschreibung
Die meisten dieser Probleme verschwinden, wenn wir die Interaktion des Systems mit einem quantisierten Feld betrachten:

  • die Energieerhaltung ist dann die Erhaltung der gesamten Energie des Systems + Photonenfeld
  • Die Dichte der Endzustände und die Irreversibilität des Übergangs erscheinen als Ergebnis der Annahme der thermodynamischen Grenze - der unendlichen Anzahl von Photonenmoden (andernfalls würden wir Kollaps und Wiederbelebung beobachten).
  • Während jeder letzten Zeit haben wir es mit der Überlagerung der Systemzustände und des Photonenfeldes zu tun, sodass die Energie des Systems allein kein Integral der Bewegung ist und wir uns nicht in einem Eigenzustand des Systems Hamiltonin befinden.

Mittlere Beschreibungsebene von Übergängen
Eine mittlere Beschreibungsebene wird über Bloch-Gleichungen erreicht , die explizit die nichtdiagonalen Dichtematrixelemente beinhalten.

Antworten auf OP
Lassen Sie mich formulieren, wie dies konkreter auf die im OP formulierten Fragen zutrifft:

  1. P ich → F ist ein mathematisches Objekt, das nicht der Energieerhaltung unterliegt (es ist nur ein Element der Matrix voller Dichte). Die Deutung im Sinne der Energieerhaltung erfolgt erst nach Grenzziehung T → ∞ .
  2. Wenn wir eine periodische Kraft betrachten, die einen klassischen Oszillator antreibt, beschleunigt sie während einiger Teile des Zyklus den Oszillator und wirkt während anderer Teile des Zyklus den Schwingungen entgegen, es sei denn, die Kraft befindet sich in Resonanz. In ähnlicher Weise kann das Feld, das ein Zwei-Niveau-System antreibt, Energie sowohl hinzufügen als auch entfernen (wie bei den bereits erwähnten Rabi-Oszillationen).
  3. Adiabatisches Schalten erleichtert meiner Meinung nach die Ableitungen. Es entspricht nicht immer der gleichen physikalischen Situation, liefert aber im Grenzfall das gleiche Ergebnis T → ∞ - eine weitere Erinnerung daran, dass die goldene Fermi-Regel nur in dieser Grenze sinnvoll ist; es ist nicht dazu gedacht, den Einschwingvorgang nach dem Einschalten der Störung zu beschreiben.
Danke schön! Ich verstehe nicht ganz, was du mit der Umformulierung gemeint hast, könntest du das näher erläutern?
Und ist Ihr Hauptpunkt, dass die spezifische Form der Spitzen (z. B. Sinc hier) im Diagramm reine Artefakte der genauen Zeitabhängigkeit der Störung sind (z. B. sinusförmig oder konstant, aber nur ab t = 0) und letztendlich keine Rolle spielen weil sie immer exakt mit der Energieverteilung des Antriebsfeldes kompensiert werden?
Wenn man den Hamilton-Operator ehrlich löst, wie er in der zeitabhängigen Störungstheorie gegeben ist, erhält man die unendlichen Oszillationen zwischen den beiden Niveaus (Rabi-Oszillationen). Es erfordert etwas mehr Arbeit, um diese Schwingungen explizit und sogar als ungefähr zu erhalten. FGR geht davon aus, dass diese Schwingungen sehr schnell gedämpft werden und sich das System im angeregten Zustand lokalisiert wiederfindet - es bedarf einer Art thermodynamischen Prozesses, der nicht im Hamilton-Operator liegt. Nur unter einer solchen Annahme wird die Rate P ich → F ist aussagekräftig.
Hmm, ich versuche nur, den Unterschied genau zu sehen, weil ich das Rabi-Flopping für ein Zwei-Ebenen-System nur mit dem TDPT-Formalismus abgeleitet habe (obwohl es dort keine Kürzung gab, also denke ich, dass es keine Störungstheorie war). Ist es so, dass wir den Rabi immer noch zum Flop bringen würden, wenn wir hier eine unendliche Anzahl von Orders einfügen würden? Es ist also nicht so, dass der Formalismus dies ausschließt, sondern dass das Ergebnis nur in erster Ordnung (für die goldene Fermis-Regel) genommen wird?
Ich denke, ich suche nur danach, wie genau der "implizite Dephasierungsmechanismus" in der Mathematik impliziert ist
Der Formlismus ist ziemlich allgemein. Es ist eine gute Art, es auszudrücken: Die Goldene Fermi-Regel überträgt die Expansion in einer bestimmten Reihenfolge, was einige Annahmen erfordert, um physikalisch korrekt zu sein. Prinzipiell kann man bei höheren Ordnungen mit ähnlichen Ergebnissen tranzieren – solange man nicht alle Ordnungen summiert. Übrigens ist es beim adiabatischen Schalten der Störungsausdehnung der Streumatrix sehr ähnlich.
Der Dephasierungsmechanismus ist implizit , weil er nicht in der Mathematik enthalten ist – er ist in der Annäherung, die man macht, wenn man die Reihe transkribiert, quadriert usw. In einer vollständigeren Berechnung, z. B. bei der Berechnung der Absorption eines Atoms oder eines Festkörpers, man würde verschiedene Wechselwirkungen einbeziehen und Annäherungen hinsichtlich der Stärke und der charakteristischen Zeiten vornehmen, die durch diese Wechselwirkungen diktiert werden.
Okay das macht alles Sinn danke! Letzter Punkt, was meinst du mit der zunehmenden Ähnlichkeit des adiabatischen Schaltens mit der Erweiterung der S-Matrix?
Es ist genau derselbe Formalismus, wenn man die S-Matrix perturbativ berechnet (Born-Reihen, Feynmann-Diagramme etc.). Außer dass die S-Matrix normalerweise im zeitunabhängigen Fall abgeleitet wird. Aber wenn das elektromagnetische Feld quantisiert ist, dh man hat eine S-Matrix für System+Photonen, dann sind sie ununterscheidbar.
Aber was genau macht das adiabatische Modell mit dem S-Matrix-Formalismus äquivalent, bei dem das plötzliche Einschalten fehlschlägt?
Ich denke, mein Problem war, warum der Streutheorie-Formalismus ein adiabatisches Einschalten erfordert . Aber vielleicht ist es nicht erforderlich, es ist nur so, dass die S-Matrix-Theorie auch ein adiabatisches Schalten annimmt, daher ist der adiabatische Schaltformalismus hier äquivalent?
Die S-Matrix hat ihren Ursprung in Wellenstreuungsproblemen, die zeitlich im Wesentlichen statisch sind. Das adiabatische Schalten wird verwendet, um anzunehmen, dass die Anfangs- und Endzustände Lösungen des Hamilton-Operators in der fernen Vergangenheit und der fernen Zukunft sind. FGR untersucht die dynamische Situation - die Rate der Übergänge. Aber plötzliches Umschalten ist auch ein mathematischer Trick, da man immer die Langzeitgrenze nimmt. Sie interessieren sich in Ihrer Frage für die vorübergehende Situation, die eigentlich nicht der Sinn der FGR ist.
Perfekt danke!
Energieerhaltung für endliche Zeiten in der Goldenen Regel von Fermi
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