Naive Frage zur zeitabhängigen Störungstheorie

In der zeitabhängigen Störungstheorie wo H = H 0 + v Und v als klein angesehen wird und keine explizite Zeitabhängigkeit aufweist, die standardmäßige Lehrbuchbehandlung der Wahrscheinlichkeitsamplitude führender Ordnung, von der das System einen Übergang vornehmen soll | ich ⟩ Zu | F ⟩ Ist

P F ← ich ( Δ T ) = | ⟨ F | v | ich ⟩ | 2 4 Sünde 2 ⁡ ( ω F ich Δ T / 2 ) ℏ 2 ω F ich 2 .

Wenn ich Übergänge zwischen zwei Zuständen gleicher Energie betrachte, nehme ich die ω F ich → 0 Grenze, mir geben

P F ← ich ( Δ T ) = | ⟨ F | v | ich ⟩ | 2 ( Δ T ) 2 ,

die zeitlich unbegrenzt wächst, wie Δ T 2 . Ich würde das so verstehen, dass die Störungstheorie lange Zeit versagt. Warum darf ich dann das große Zeitlimit nehmen, um die Goldene Regel von Fermi abzuleiten, ohne das Risiko eines Scheiterns der Störungstheorie einzugehen?

Sakurais Modern Quantum Mechanics (S. 323 in der überarbeiteten Ausgabe) bietet eine Behandlung davon, wo er es zuerst auf linear in der Zeit herunterbringt, indem er einen kontinuierlichen Bereich von Endzuständen betrachtet und dann die Rate pro Zeiteinheit berechnet. Allerdings sehe ich auch nicht, wie man das interpretieren würde P F ← ich ( δ T ) > 1 .

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Zunächst eine Korrektur. Die erste Formel ist die Wahrscheinlichkeit, nicht die Wahrscheinlichkeitsamplitude.

Und es wird nur in führender Ordnung berechnet, in gewissem Sinne "linearisiert", also ist es natürlich nur eine gute Annäherung für P F ← ich ≪ 1 . Wenn die Wahrscheinlichkeit mit eins vergleichbar wird, werden subleitende und Korrekturen höherer Ordnung wichtig, weil man auch untersuchen muss, wie sich die neu geschaffenen Koeffizienten vor anderen Zuständen – Zuständen, die im Anfangszustand fehlen – durch die Zeitentwicklung ändern.

Die Störungstheorie wird immer dann unzulänglich, wenn die Störung, in diesem Fall das Matrixelement ⟨ F | v | ich ⟩ , es ist zu groß. Aber man muss richtig verstehen, was "zu groß" bedeutet. Und es bedeutet P F ← ich ≥ Ö ( 1 ) was äquivalent ist ⟨ F | v | ich ⟩ ⋅ Δ T ≥ Ö ( ℏ ) . Für Übergänge bei ω F ich → 0 , die Anforderung, "wie klein das Störmatrixelement sein muss", wird einfach strenger, die Obergrenze wird kleiner. Eine weitere äquivalente Art, es auszudrücken: Damit die Störungstheorie in Ordnung ist, müssen Sie sie haben Δ T ≪ ℏ / ⟨ F | v | ich ⟩ .

Ihre Behandlung hat jedoch ein weiteres Problem. Nun, eines von zwei Problemen. Betrachtet man den Übergang in einen diskreten Endzustand, der zufällig eine endliche Energie hat, hat man es mit entarteter Störungstheorie zu tun und sollte zunächst rediagonalisieren H 0 + v in diesem Hilbert-Unterraum, um herauszufinden, dass sich die tatsächlichen Energie-Eigenzustände vom ursprünglichen Anfangszustand unterscheiden und ihre Energien sich tatsächlich unterscheiden.

Wenn Sie einen Übergang in einen Endzustand betrachten, der zu einem Kontinuum gehört, dann interessiert Sie die integrierte Wahrscheinlichkeit vorbei ω F , sowieso, und in diesem Fall, Sünde 2 ⁡ Y / Y 2 kann durch ein Vielfaches der Delta-Funktion angenähert werden, die das "naive" Energieerhaltungsgesetz auferlegt. Siehe zB dieses Dokument für eine Einführung in die Methode. Meine Ungleichung erscheint als (11.40) auf Seite 104.

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