Drehmoment, wenn die äußere Nettokraft Null ist

Ich studierte Kraftpaare und mein Lehrer sagte, dass dabei das Drehmoment an jedem Punkt gleich ist. Das führte mich zu der Frage, ob das Drehmoment an jedem Punkt im Universum konstant ist, wenn die äußere Nettokraft Null ist. Wenn ja, wie?? logisch oder mathematisch. Und wenn nein, warum gilt es für das Kraftpaar??

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Hier ist meine Ableitung dieses Ergebnisses. Ich hoffe, Sie finden es hilfreich:

Angenommen, wir haben n verschiedene Kräfte F 1 , F 2 , F 3 . . . F N , angewendet an n verschiedenen Punkten. Jetzt wählen wir zwei Zentren aus P Und Q , und drücken Sie die radialen Vektoren (1) von Punkt aus P zu jedem der n Punkte (wo Kräfte angewendet werden) als R 1 , R 2 , . . . R N (2) ab Punkt Q zu jedem der n Punkte (wo Kräfte angewendet werden) als R 1 , R 2 , . . . R N .

Dann ist das Gesamtdrehmoment um P: τ P = ∑ ich = 1 N R ich × F ich Wo × Kreuzprodukt bezeichnet.

Das Gesamtdrehmoment um Q ist: τ Q = ∑ ich = 1 N R ich × F ich

Das wollen wir zeigen τ P = τ Q angesichts der Einschränkungen, die:

∑ ich = 1 N F ich = 0
(Nettokraft ist Null) und
R ich − R J = R ich − R J
für alle i,j (die n Punkte sind fixiert. Die relativen Abstände ändern sich also nicht)

Im Grunde schreibt man also die Summen explizit aus:

τ P = ∑ ich = 1 N R ich × F ich = ( R 1 − R 2 ) × F 1 + ( R 2 − R 3 ) × ( F 1 + F 2 ) + ( R 3 − R 4 ) × ( F 1 + F 2 + F 3 ) + . . . + ( R N − 1 − R N ) × ( F 1 + . . . + F N − 1 ) + R N × ( F 1 + F 2 + . . . + F N )

Ähnlich,

τ Q = ∑ ich = 1 N R ich × F ich = ( R 1 − R 2 ) × F 1 + ( R 2 − R 3 ) × ( F 1 + F 2 ) + ( R 3 − R 4 ) × ( F 1 + F 2 + F 3 ) + . . . + ( R N − 1 − R N ) × ( F 1 + . . . + F N − 1 ) + R N × ( F 1 + F 2 + . . . + F N )

Indem Sie die zweite Bedingung einfügen, sehen Sie sofort, dass alle Terme der beiden Summierungen bis auf den letzten gleich sind.

Also müssen wir das nur bestätigen: R N × ( F 1 + F 2 + . . . + F N ) = R N × ( F 1 + F 2 + . . . + F N )

Dies ist trivial, da die erste Nebenbedingung besagt, dass die Nettokraft null ist! Daher sind die letzten Terme nur Null.

Daher schließen wir das τ P = τ Q für jedes p, q im Raum.

Entschuldigung, aber ich kann nicht verstehen, wie Sie auf die zweite Einschränkungsbeziehung gekommen sind. Können Sie sie bitte erklären ???
Sie ändern Ihr Zentrum, also jeder R ich ist von jedem verschieden R ich . Die Unterschiede ändern sich jedoch nicht, da die Kraftangriffspunkte fixiert bleiben
@ZhengyanShi Wie bist du auf die Idee gekommen, die Summe der Drehmomente auf diese Weise auszudrücken? Um welchen Gedankengang geht es?
Drehmoment, wenn die äußere Nettokraft Null ist
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