Durchschnittliche kinetische Energie in 1 Dimension gemäß Maxwell-Boltzmann-Verteilung

Das Format der dreidimensionalen MB-Verteilung ist A ⋅ e − E k B T ⋅ G ( E ) in welchem A kann durch Normalisierung (Integration bis zu ∞ muss 1) und sein G ( E ) wobei die Entartung gem G ( E ) = v π ⋅ 2 2.5 M 1.5 H 3

Die dreidimensionale durchschnittliche kinetische Energie E ¯ eines Partikelsystems kann dann durch Multiplikation dieser MB-Verteilung mit berechnet werden E und Integration über Unendlich, was ergibt:

E ¯ = ∫ 0 ∞ 2 π ⋅ ( 1 k B T ) 3 2 ⋅ e − E k B T ⋅ E ⋅ E ⋅ D E = 3 2 k B T

Das Format für die 1-dimensionale MB-Verteilung (z. B. die x-Koordinate) ist A ⋅ e − E X k B T Wo A wird abgeleitet, indem die Integration auf 1 normalisiert wird, was ergibt A = 1 k B T Bei der Berechnung der 1-dimensionalen Durchschnittsenergie E ¯ X , sollte diese MB-Verteilung ebenfalls mit der Energie multipliziert werden E X und integriert bis zu ∞ was ergibt:

E ¯ X = ∫ 0 ∞ 1 k B T ⋅ e − E X k B T ⋅ E X ⋅ D E = k B T
Aber das sollte sein 1 2 k B T stattdessen. Das Besondere ist, dass beim Schreiben E X bezüglich 1 2 M v X 2 innerhalb der Formel A ⋅ e − E X k B T , Normalisierung A Dazu multipliziert man die Formel mit 1 2 M v X 2 und Integration bis zu ∞ , dann würde man ja bekommen 1 2 k B T .
∫ 0 ∞ 2 M π k B T ⋅ e − M v X 2 2 k B T ⋅ 1 2 M v X 2 ⋅ D v = 1 2 k B T
Aber für die dreidimensionale MB-Verteilung war es nicht nötig, das Format in Bezug auf aufzuschreiben v um die richtige durchschnittliche kinetische Energie zu erhalten.

Warum wirkt sich die 1-dimensionale MB-Verteilung bzgl E X eine falsche durchschnittliche Energie angeben und wie würde man erkennen, dass dies der falsche Weg ist?

Antworten (2)

Ich glaube du hast es vergessen zu berücksichtigen G ( E ) in der Berechnung für die 1 D Fall. Eigentlich, G ( E ) ∝ 1 / E in diesem Fall, was zu einer anderen (und hoffentlich richtigen) Antwort führt.

Der Grund, warum Sie eine andere Antwort erhalten, indem Sie verwenden v X da deine Integrationsvariable der Integrand ist ∝ exp ⁡ ( − 1 M v 2 2 k T ) 1 2 M v 2 , beim Ändern der Variablen zu E ∝ v 2 , muss mit multipliziert werden D v D E ∝ 1 / E was Ihnen den Entartungsfaktor zurückgibt G ( E ) .

Wenn ich mich nicht irre, ist der Entartungsfaktor für den eindimensionalen Fall G ( E ) = 2 , da sich zwei freie Teilchen mit gleicher Geschwindigkeit, aber entgegengesetzter Richtung bewegen ( − X ^ Und X ^ ) haben die gleiche kinetische Energie.
In diesem Fall der Normalisierungsfaktor A wäre 1 / ( 2 k B T ) und Sie würden Ihr gewünschtes Ergebnis erhalten.

Ich verstehe nicht, warum der Faktor 2 im Nenner statt im Zähler stehen soll. Wenn es eine Entartung von 2 gibt, sollte die Formel nicht mit 2 statt mit der Hälfte multipliziert werden?
Du multiplizierst zuerst wie in deiner ersten Gleichung: 2 A exp ⁡ [ − E / ( k B T ) ] , dann normalisieren, um zu erhalten A . Es folgt dem A = 1 / ( 2 k B T ) .
Danke. Dies lässt mich jedoch nachdenken, warum es nicht notwendig ist, die verschiedenen Richtungen für die dreidimensionale Formel zu berücksichtigen A ⋅ e − E k B T ⋅ G ( E ) ? Soweit ich weiß, die Entartung G ( E ) berücksichtigt nur die unterschiedlichen Kombinationswerte von E X , E j Und E z die geben die gleiche summe, aber nicht die 2 verschiedene mögliche Richtungen von jedem von ihnen, die sein sollten 8 insgesamt (2 für jeden der 3 Freiheitsgrade)
Außerdem ist mir etwas bezüglich der Multiplikation mit aufgefallen 2 Wegen der zwei entgegengesetzten Richtungen. Wenn es zwei Richtungen gibt, sollte die 1D-Verteilung so sein 2 A ⋅ e − E k B T und Normalisierung würde es ja geben A = 1 / ( 2 k B T ) . Die Formel wäre dann 2 ⋅ 1 2 k B T ⋅ e − E k B T . Dies vereinfacht sich aber nochmals zu 1 k B T ⋅ e − E k B T .
Ja, mir ist gestern aufgefallen, dass meine Antwort wahrscheinlich falsch ist (sorry). Jetzt bin ich bei der Arbeit, aber ich werde versuchen, das später heute zu lernen!
Ich habe es überprüft und Ihre Antwort ist in der Tat richtig. Ich sollte die hinzufügen 1 2 Faktor nach Normalisierung A . Was ich aber komisch finde ist, ist es nicht k B T 2 die durchschnittliche Energie in nur einer Geschwindigkeitsrichtung? Wenn ja, sollte ein Freiheitsgrad nicht beide Richtungen berücksichtigen, so dass die durchschnittliche Energie jedes Freiheitsgrads sein sollte k B T ?
@JohnnyGui Es tut mir sehr leid, aber ich war in letzter Zeit ziemlich beschäftigt und konnte Ihre Kommentare nicht gründlich überprüfen ... Was Ihren letzten Kommentar betrifft, hat aufgrund des Gleichverteilungssatzes jeder Freiheitsgrad, der im Hamilton-Operator quadriert erscheint, einen durchschnittliche Energie von k B T / 2 , wobei Freiheitsgrad hier beispielsweise Raum- oder Geschwindigkeitskomponenten (die beide Richtungen berücksichtigen) bedeutet.
Ich denke nicht, dass das Ändern des Entartungsbegriffs um einen konstanten Faktor zu einer anderen Antwort führen sollte. Wenn es der Fall wäre, würden Sie wahrscheinlich erwarten H Und v im Endergebnis erscheinen, da sie in erscheinen G ( E ) . Nur der E Abhängigkeit von G ( E ) wichtig, wenn Sie die mittlere Energie eines Teilchens berechnen, und ich denke, der Fehler in der Berechnung des Autors kommt von der Tatsache, dass G ( E ) ∝ 1 / E in 1D.
Durchschnittliche kinetische Energie in 1 Dimension gemäß Maxwell-Boltzmann-Verteilung
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