Eclipse-Zyklusberechnungen erforderlich

Ehrlich gesagt reihen sich vier Körper nicht periodisch aneinander, selbst wenn die Umlaufbahnen planar sind, es sei denn, es gibt ein gemeinsames Multiplum. Da alle Ihre Perioden ganze Zahlen sind, gilt dies, aber seien Sie sich bewusst, dass Ihre doppelten Ausrichtungen, wie die doppelte Sonnenfinsternis oder die doppelte Mondfinsternis, nicht periodisch sind, wenn eine der Perioden nicht genau diesem ganzzahligen System folgt. (es gilt also zum Beispiel nicht für 31,01 Tage. Wie Sie mit Quazi-Perioden umgehen, wird hier besprochen ).

1. Wie oft wären beide Monde gleichzeitig voll und würden sich wie ein Bullseye überlappen?

Im Allgemeinen nicht periodisch, kann aber nur zur synodischen Periode der beiden Monde auftreten, das heißt:

.

$\frac{2418}{47}$für die beiden Monde. Das muss aber auch geschehen, wenn beide auf der gleichen Linie wie die Sonne stehen, mit anderen Worten, wenn die relative synodische Periode zwischen einem der Monde und der Sonne und die synodische Periode der Monde beide die angeforderte Periode teilen. Für den inneren Mond und die Sonne ist die synodische Periode$\frac{10385}{304}$. Da 47 mit 304 keine Teiler gemeinsam hat, erscheint das erste gemeinsame Multiplum bei.

$$\frac{10385}{304} \cdot \frac{2418}{47} = \frac{12555465}{7144}$$ , oder 1757,484 Tage. (@Jonathan erhält 2418, weil sein Modell davon ausgeht, dass die Sonne statisch am Himmel bleibt, sich aber tatsächlich einmal im Jahr dreht.) Der exakt gleiche Zeitraum gilt auch für Ihre Frage 4 .

2. Wie oft würden Mondfinsternisse für Mond A auftreten?

Hier ist die Antwort die bereits erwähnte synodische Periode von Sonne und Mond$\frac{10385}{304}$, oder 34,161 Tage. Das ist etwas länger als die Umlaufzeit des Mondes, weil sich der Planet auf seiner Umlaufbahn ein wenig bewegt hat, wodurch sich die Position der Sonne am Himmel leicht verändert.

3. Wie oft würden Mondfinsternisse für Mond B auftreten?

Synodenzeit auch hier,$\frac{26130}{257}$= 101,673 Tage.

Hier ist mein Versuch, vorausgesetzt, die Umlaufbahnen sind kreisförmig und entlang derselben Ebene . Andernfalls werden die Berechnungen komplexer, und diese Variablen müssten angegeben werden. Die Größe des Planeten und die Größe der Monde würden sich ebenfalls auf die Berechnung auswirken (z. B. werden sie möglicherweise nie vollständig verfinstert, wenn der Planet ziemlich klein / dicht ist). Beachten Sie auch, dass Mond A je nach Größe Mond B und Mond B Mond A verdunkeln kann. Ich berücksichtige dies nicht in meinen Berechnungen (ich berücksichtige nur den Planeten, der sie verfinstert).

1. Wie oft wären beide Monde gleichzeitig voll und würden sich wie ein Bullseye überlappen?

Ohne die Planetenumlaufbahn ist 31 eine Primzahl und 78 zerfällt in die Faktoren 2, 7, 7. Da es keinen gemeinsamen Nenner gibt, scheinen diese nicht häufiger als 78 * 31 = 2418 zu synchronisieren Tage

2.Wie oft würden Mondfinsternisse für Mond A auftreten?

Etwa 78 Tage (+- etwa 78/335 Tage aufgrund der Umlaufbahn des Planeten um die Sonne)

3. Wie oft würden Mondfinsternisse für Mond b auftreten?

Etwa 31 Tage (+- etwa 31/335 Tage aufgrund der Umlaufbahn des Planeten um die Sonne)

4. Wie oft würden beide gleichzeitig verfinstern?

Gleiche Antwort wie Nr. 1, die ich mit 2418 Tagen berechne

Ich begrüße eine Verfeinerung / Korrektur meiner Berechnungen, dies ist ein "grober Versuch".

HINWEIS: Ich verwende einen "geozentrischen" Bezugsrahmen, in dem sowohl die Monde als auch die Sonne den Planeten umkreisen, und erstelle ein beliebiges xy-Koordinatensystem.

Wir stellen aus der Antwort von @Hohmannfan fest, dass (der Einfachheit halber Ihre Fragen nicht in der richtigen Reihenfolge beantwortet):

• Mond B wird jeden Tag die Sonne verfinstern$\frac{10385}{304}$(~ 34,16) Tage. In dieser Zeit vervollständigt sich die Sonne$\frac{31}{304}$tel einer Umlaufbahn und Mond B vollendet$1\frac{31}{304}$Bahnen, die einmal die Sonne umrunden.

• Mond A wird jeden Tag die Sonne verfinstern$\frac{26130}{257}$(~ 101,67) Tage. Die Sonne wird fertig$\frac{78}{257}$einer Umlaufbahn, und Mond A wird sie durch Vollendung überrunden$1\frac{78}{257}$Umlaufbahnen.

• Mond B wird Mond A jeweils einmal überlappen$\frac{2418}{47}$(~ 51,44) Tage, in denen Mond A abgeschlossen wird$\frac{31}{47}$einer Umlaufbahn und Mond B wird sie durch Vollendung überrunden$1\frac{31}{47}$Umlaufbahnen.

Wie @Hohmannfan feststellt, gibt es jedoch keine Garantie dafür, dass die Monde voll sind, wenn sie sich überlappen.

Es gibt auch keine Garantie dafür, dass die beiden Monde jemals beide die Sonne genau zur gleichen Zeit verfinstern werden, obwohl sie dem willkürlich nahe kommen werden:

Im$\frac{2418}{47}$Tage zwischen zwei aufeinanderfolgenden Mondüberschneidungen bewegt sich die Sonne$\frac{2418}{47} \times \frac{1}{335}$einer Umlaufbahn.

Wie oben, sind die Monde vorgerückt$\frac{31}{47}$einer Umlaufbahn.

Die Monde sind also im Vergleich zur Sonne vorgerückt$\frac{31}{47} - \frac{2418}{47} \times \frac{1}{335}$oder$\frac{7967}{15745}$einer Umlaufbahn (diese Zahl liegt überraschend nahe bei$\frac{1}{2}$aber das ist nur Zufall).

Dies geschieht zwischen jedem Paar von Überlappungen, also ist der Winkelabstand der Sonne (in Umlaufbahnen) von den überlappenden Monden$\frac{7967 n}{15745}+r$wo$r$ist der Winkelabstand bei einer bestimmten Überlappung und$n$ist eine beliebige ganze Zahl.

Damit die überlappenden Monde die Sonne verfinstern$\frac{7967 n}{15745}+r$muss eine ganze Zahl sein. Wenn$r$irrational ist, kann dies niemals passieren.

Der Winkelabstand kann jedoch beliebig klein werden, sogar bis zu dem Punkt, an dem ein Beobachter nicht erkennen würde, dass die Doppelmondfinsternis nicht 100% perfekt ist.

Durch ein ähnliches Argument können Sie zeigen, dass sich die beiden Vollmonde willkürlich nahe kommen, um sich zu überlappen.

Wenn wir JETZT die vereinfachende Annahme machen, dass beide Monde die Sonne im Jahr 0 verfinstern (vielleicht haben Ihre Astronomen-Priester entschieden, dass dieses ungewöhnliche Ereignis ein guter Zeitpunkt ist, um mit der Nummerierung der Jahre zu beginnen, und glauben, dass Null (nicht Eins) ein guter Anfang ist Jahr), können wir einige andere Berechnungen anstellen.

Da sich die Monde alle aufreihen$\frac{2418}{47}$Tage und Sonne und Mond B richten sich alle aus$\frac{10385}{304}$Tage, alle drei reihen sich (um eine doppelte Mondfinsternis der Sonne zu bilden) auf das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen, oder 810.030 Tage (was genau 2418 Ihrer Jahre wäre, und beachten Sie, dass 2418 das Produkt der beiden ist Mondumläufe in Tagen). In dieser Zeit:

• Mond A wird genau 10.385 Umläufe absolviert haben.

• Mond B wird genau 26.130 Umläufe absolviert haben.

• Wie oben wird die Sonne genau 2.418 Umläufe absolviert haben.

Wie sich herausstellt, kann es niemals ein perfektes Doppel-Vollmond-Bullseye geben:

• Mond B wird an diesem Tag voll sein$\frac{10385}{608}$(~ 17.08), an diesem Punkt wird es abgeschlossen sein$\frac{335}{608}$einer Umlaufbahn und die Sonne wird abgeschlossen sein$\frac{31}{608}$einer Umlaufbahn, so dass Mond B eine halbe Umlaufbahn um die Sonne gewonnen hat, was für einen Vollmond erforderlich ist. Danach ist der Mond jeden Tag voll$\frac{10385}{304}$Tage, die Zeitspanne, die die Sonne benötigt, um abzuschließen$\frac{31}{304}$Umlaufbahnen und Mond B zu vervollständigen$1\frac{31}{304}$Umlaufbahnen.

• Nach ähnlicher Berechnung wird Mond A am Tag voll sein$\frac{13065}{257}$(~ 50,84) und alle$\frac{26130}{257}$Tage danach.

• Um herauszufinden, wann beide gleichzeitig voll sind, lösen wir diese lineare diophantische Gleichung:

$\frac{10385 n}{304}+\frac{10385}{608}=\frac{26130 m}{257}+\frac{13065}{257}$

wobei n und m ganze Zahlen sind. Dies reduziert sich auf:

$n\to \frac{47424 m+15745}{15934}$

Leider,$47424 m$ist immer gerade, also$47424 m+15745$ist immer seltsam. Da der Nenner ($15934$) gerade ist, teilen Sie eine ungerade Zahl durch eine gerade Zahl, und das Ergebnis kann niemals eine Ganzzahl sein.

Dies erzählt jedoch nicht die ganze Geschichte. Zum Beispiel, wenn wir die Positionen am Tag berechnen$\frac{34987576465283}{92766720}$(~ 377156.55) finden wir:

• Mond B befindet sich bei 122,5656 Grad.

• Mond A steht bei 122,5581 Grad, nur ~27 Bogensekunden entfernt.

• Die Sonne steht bei 302,5658 Grad, 179,9998 Grad von Mond B und 179,9924 Grad von Mond A entfernt (~ 28 Bogensekunden von der Opposition entfernt).

Mit anderen Worten, das ist ziemlich nah an einem doppelten Vollmond, auch wenn es nicht genau ist.

Auch wenn doppelte Sonnenfinsternisse nur einmal alle 810.030 Tage auftreten, gibt es in ähnlicher Weise mehrere knappe Anrufe:

$\begin{array}{cc} \text{Day} & \text{Sep (')} \\ -810030.00000 & 0.00 \\ -754313.10860 & 0.91 \\ -698596.21710 & 1.82 \\ -642879.32570 & 2.73 \\ -587162.43420 & 3.64 \\ -531445.54280 & 4.55 \\ -475728.65130 & 5.47 \\ -445735.13160 & 7.29 \\ -420011.75990 & 6.38 \\ -390018.24010 & 6.38 \\ -364294.86840 & 7.29 \\ -334301.34870 & 5.47 \\ -278584.45720 & 4.55 \\ -222867.56580 & 3.64 \\ -167150.67430 & 2.73 \\ -111433.78290 & 1.82 \\ -55716.89145 & 0.91 \\ 0.00000 & 0.00 \\ 55716.89145 & 0.91 \\ 111433.78290 & 1.82 \\ 167150.67430 & 2.73 \\ 222867.56580 & 3.64 \\ 278584.45720 & 4.55 \\ 334301.34870 & 5.47 \\ 364294.86840 & 7.29 \\ 390018.24010 & 6.38 \\ 420011.75990 & 6.38 \\ 445735.13160 & 7.29 \\ 475728.65130 & 5.47 \\ 531445.54280 & 4.55 \\ 587162.43420 & 3.64 \\ 642879.32570 & 2.73 \\ 698596.21710 & 1.82 \\ 754313.10860 & 0.91 \\ 810030.00000 & 0.00 \\ \end{array}$

Die obige Tabelle listet alle Beinahe-Finsternisse innerhalb von 7,5 Bogenminuten auf, wobei Tag die Anzahl der Tage seit dem Jahr 0 (einschließlich der Tage vor dem Jahr 0) und Sep der maximale Abstand (in Bogenminuten) von zwei beliebigen Mond A ist , Mond B und die Sonne. Beachten Sie diese Tage$0$und$\pm 810030$sind perfekte Sonnenfinsternisse, wie erwartet.

In ähnlicher Weise kommen wir den doppelten Vollmonden am nächsten, darunter. In diesem Fall ist sep (in Bogenminuten) das Maximum von:

• der Winkelabstand von Mond A von der Opposition

• der Winkelabstand von Mond B von der Opposition

• der Winkelabstand zwischen Mond A und Mond B

$\begin{array}{cc} \text{Day} & \text{Sep (')} \\ -797168.29790 & 10.29 \\ -767174.80850 & 8.92 \\ -711457.91490 & 7.55 \\ -655741.02130 & 6.17 \\ -600024.12770 & 4.80 \\ -544307.23400 & 3.43 \\ -488590.34040 & 2.06 \\ -432873.44680 & 0.69 \\ -377156.55320 & 0.69 \\ -321439.65960 & 2.06 \\ -265722.76600 & 3.43 \\ -210005.87230 & 4.80 \\ -154288.97870 & 6.17 \\ -98572.08511 & 7.55 \\ -42855.19149 & 8.92 \\ -12861.70213 & 10.29 \\ 12861.70213 & 10.29 \\ 42855.19149 & 8.92 \\ 98572.08511 & 7.55 \\ 154288.97870 & 6.17 \\ 210005.87230 & 4.80 \\ 265722.76600 & 3.43 \\ 321439.65960 & 2.06 \\ 377156.55320 & 0.69 \\ 432873.44680 & 0.69 \\ 488590.34040 & 2.06 \\ 544307.23400 & 3.43 \\ 600024.12770 & 4.80 \\ 655741.02130 & 6.17 \\ 711457.91490 & 7.55 \\ 767174.80850 & 8.92 \\ 797168.29790 & 10.29 \\ \end{array}$

Weitere Hinweise:

• Auch wenn Sie sagten, dies sei Fiktion, beachten Sie, dass es höchst unwahrscheinlich ist, dass die Umlaufzeit der Monde ein genaues Vielfaches des Planetentages ist. Die einzige Ausnahme hiervon ist, wenn der/die Mond(e) gezeitengesperrt sind, in diesem Fall beträgt die Umlaufzeit genau einen Tag.

• Ebenso ist es unwahrscheinlich, dass die Umlaufzeit des Planeten ein genaues Vielfaches seiner Rotationsperiode ist (unsere ist es sicherlich nicht).

Dies ist im Allgemeinen ein interessantes Problem, und ich schreibe https://github.com/barrycarter/bcapps/blob/master/MATHEMATICA/bc-orrery.m , um ein ähnliches Problem zu lösen: https://physics.stackexchange.com /Fragen/197481/