Ein Beispiel, das dem 3. Newtonschen Gesetz widerspricht?

Question

Ein Beispiel, das dem 3. Newtonschen Gesetz widerspricht?

Popopo

Seien a,b zwei geladene Teilchen.

{\vec{r}}_{a} (0) = \vec{0}

$\vec{r}_a(0)=\vec{0}$

{\vec{r}}_{b} (0) = r \hat{j}

$\vec{r}_b(0)=r\hat{j}$

{\vec{v}}_{a} (t) = v_{a} \hat{ich}

$\vec{v}_a(t)=v_a \hat{i}$

{\vec{v}}_{b} (t) = v_{b} \hat{j}

$\vec{v}_b(t)=v_b\hat{j}$

Wobei beides $v_a$ und $v_b$ $<<c$ .

Dann

{\vec{E}}_{a b} (0) = \frac{q_{a}}{4 π ϵ r^{2}} \hat{j}

$\vec{E}_{ab}(0)=\frac{q_a}{4\pi \epsilon r^2}\hat{j}$

{\vec{B}}_{a b} (0) = \frac{μ q_{a} v_{a}}{4 π r^{2}} \hat{k}

$\vec{B}_{ab}(0)=\frac{\mu q_av_a}{4\pi r^2} \hat{k}$

{\vec{E}}_{b a} (0) = - \frac{q_{b}}{4 π ϵ r^{2}} \hat{j}

$\vec{E}_{ba}(0)=-\frac{q_b}{4\pi \epsilon r^2}\hat{j}$

{\vec{B}}_{b a} (0) = \vec{0}

$\vec{B}_{ba}(0)=\vec{0}$

Beachten Sie, dass $v_a$ und $v_b$ $<<c$ somit gehorchen a und b fast dem Coulombschen Gesetz. Darüber hinaus, $\vec{j_i}(\vec{r})=q_i\delta(\vec{r}-\vec{r}_i)\vec{v}_i$ daher kann das BS-Recht angewendet werden.

Somit

{\vec{F}}_{a b} (0) = q_{b} ({\vec{E}}_{a b} + {\vec{v}}_{b} \times {\vec{B}}_{a b})

$\vec{F}_{ab}(0)=q_b(\vec{E}_{ab}+\vec{v}_b \times \vec{B}_{ab})$

= \frac{q_{a} q_{b}}{4 π ϵ r^{2}} \hat{j} - \frac{μ q_{a} v_{a} v_{b}}{4 π r_{b}^{2}} \hat{ich}

$=\frac{q_a q_b}{4\pi \epsilon r^2}\hat{j}-\frac{\mu q_av_a v_b}{4\pi r_b^2} \hat{i}$

Aber

{\vec{F}}_{b a} (0) = - \frac{q_{a} q_{b}}{4 π ϵ r^{2}} \hat{j}

$\vec{F}_{ba}(0)=-\frac{q_aq_b}{4\pi \epsilon r^2}\hat{j}$

Folglich

{\vec{F}}_{a b} \neq - {\vec{F}}_{b a}

$\vec{F}_{ab} \ne -\vec{F}_{ba}$

Dieses Ergebnis widerspricht dem 3. Newtonschen Gesetz!! Aber ich kann keinen Fehler finden ... Es hat mich beunruhigt.

anna v

Ihre erste Gleichung über r_a sollte r_a=r lauten, weil Sie es für alle t (Zeit) angeben, da es a keine Geschwindigkeit haben kann. Der Differenzvektor zwischen r_a (den Sie fälschlicherweise r nennen) und r_b sollte im Nenner für die Kraft zwischen den beiden stehen.

anna v

Um klar zu sein, r_a kann nur bei t = 0 oder zu einem anderen bestimmten Zeitpunkt 0 sein, wenn es sich bewegt. Und korrigieren Sie das Obige, r_a= r_i (nicht r), um richtig zu sein. dann sollte r die Vektordifferenz zwischen r_i und r_j sein. Ich denke, Sie ignorieren, dass in bewegten Systemen nur ein Anfangswert zu einem bestimmten Zeitpunkt, t = 0, für die Raumposition angegeben werden kann.

DilithiumMatrix

Wie @MarkEichenlaub betont, gibt es einige Probleme mit Ihrer Analyse, aber +1 --- eine nette Frage und dennoch ein kluger Versuch!

Popopo

@annav Du hast recht. Ich werde es korrigieren.

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Ein Beispiel, das dem 3. Newtonschen Gesetz widerspricht?

Ihre erste Gleichung über r_a sollte r_a=r lauten, weil Sie es für alle t (Zeit) angeben, da es a keine Geschwindigkeit haben kann. Der Differenzvektor zwischen r_a (den Sie fälschlicherweise r nennen) und r_b sollte im Nenner für die Kraft zwischen den beiden stehen.
Um klar zu sein, r_a kann nur bei t = 0 oder zu einem anderen bestimmten Zeitpunkt 0 sein, wenn es sich bewegt. Und korrigieren Sie das Obige, r_a= r_i (nicht r), um richtig zu sein. dann sollte r die Vektordifferenz zwischen r_i und r_j sein. Ich denke, Sie ignorieren, dass in bewegten Systemen nur ein Anfangswert zu einem bestimmten Zeitpunkt, t = 0, für die Raumposition angegeben werden kann.
Wie @MarkEichenlaub betont, gibt es einige Probleme mit Ihrer Analyse, aber +1 --- eine nette Frage und dennoch ein kluger Versuch!

Markus Eichenlaub · Answer 1

Markus Eichenlaub

Die Details Ihrer Analyse stimmen nicht ganz - so sieht beispielsweise das elektrische Feld einer bewegten Ladung nicht aus. Das liegt wahrscheinlich daran, dass Sie noch nicht alle Regeln des Elektromagnetismus gelernt haben. Dennoch trifft der Geist Ihrer Frage einen wichtigen Punkt.

Ladungen erhalten keinen Impuls und gehorchen nicht Newtons drittem Gesetz. Sie müssen den Impuls des elektromagnetischen Feldes einbeziehen, um zu sehen, dass die Erhaltungsgesetze gelten.

Es gibt eine leicht zugängliche Diskussion in Abschnitt 8.2 von Griffiths „Introduction to Electrodynamics“, wenn Sie etwas mehr Mathematik möchten.

Popopo

Oh richtig, bewegliche Ladungen gehorchen nicht dem Gesetz von Coulomb & Biot-Savart ... Also habe ich eine Bedingung hinzugefügt, dass sie sich beide mit niedriger Geschwindigkeit bewegen. Außerdem vielen Dank für Ihr Buch.

Popopo

Okay, ich habe Abschnitt 8.2 gelesen. Es scheint, dass die Interaktion in der klassischen Feldtheorie lokalisiert ist. Daher werden die Kräfte, die Ladungen fühlen, eher durch das EM-Feld als durch andere Ladungen gegeben. Das Ergebnis ist es also nicht

{\vec{F}}_{a b} \neq - {\vec{F}}_{b a}

$\vec{F}_{ab} \ne -\vec{F}_{ba}$ aber

{\vec{F}}_{F a} \neq - {\vec{F}}_{F b}

$\vec{F}_{Fa}\ne -\vec{F}_{Fb}$ verstößt also nicht gegen den 3. Hauptsatz.

Popopo

Nun, wir müssen das EM-Feld einbeziehen, um dieses Problem zu vermeiden, aber es scheint, dass das EM-Feld eher der relativistischen Mechanik gehorcht als der von Newton. Gilt der 3. Hauptsatz also auch in der relativistischen Mechanik? Außerdem scheinen Größen wie "Kraft" und "Beschleunigung" in der relativistischen Mechanik nicht so klar und wichtig zu sein ...

zonksoft · Answer 2

Die Hauptsache, mit der Sie beginnen müssen, ist, den Strom eines einzelnen Elektrons mit einer Delta-Funktion zu definieren :

$j(\vec r')=-e\,\delta(\vec r'- \vec{r}(t)) \dot{\vec{r}}(t)$ ,

wo $r'(t)$ ist die Position des Teilchens. Dann sollte alles andere (Maxwell-Gleichungen, Biot-Savart-Gesetz) funktionieren.

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Popopo

anna v

anna v

DilithiumMatrix

Popopo

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Markus Eichenlaub

Popopo

Popopo

Popopo

zonksoft

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