Ein weiterer Einwand gegen Feynmans sich bewegenden unendlichen Ladungsträger „Radiator“

Wie könnte die −Y-Komponente des von Feynman beworbenen elektrischen Felds unter Verwendung des Ansatzes von 13-6 erklärt werden?

Das kann nicht sein. Lassen Sie sich nicht täuschen, dass alle elektrischen und magnetischen Felder auf die Längenkontraktion irgendeiner Ladungsverteilung zurückzuführen sind. Die Tatsache, dass sich elektrische und magnetische Kräfte vermischen, wenn Sie den Referenzrahmen ändern, bedeutet nicht, dass es bei sorgfältiger Prüfung keinen Magnetismus oder keine Induktion gibt (wie offensichtlich sein sollte - Magnetfelder können auch ohne jegliche Ladungen existieren).

Ist mein Verständnis davon insofern richtig, als es eine X-Komponente des elektrischen Felds geben sollte, das von dem Blattpaar erzeugt wird, sobald das "leitende" Blatt in Bewegung versetzt wird?

Ja - dies macht jedoch einen Beitrag zum gesamten elektrischen Feld in der Größenordnung von aus$\frac{u^2}{c^2}$(Wo$u$die Geschwindigkeit des aktuellen Blattes ist), die im Grenzfall klein vernachlässigt werden kann$u$im Vergleich zum induktiven elektrischen Feld, das viel größer ist.

Wie Feynman feststellt, ist das Magnetfeld (im Bereich ungleich Null) gegeben durch

$$\mathbf B = -\frac{J}{2\epsilon_0 c^2}\hat z = -\frac{\sigma' u}{2\epsilon_0 c^2} \hat z = -\frac{\sigma u}{2\epsilon_0 c^2} \hat z + \mathcal O\left(\frac{u^3}{c^3}\right)$$ Wo$\sigma$ist die Oberflächenladungsdichte in der Ebene und$\sigma'$die Lorentz-kontrahierte Oberflächenladungsdichte ist. Das induzierte elektrische Feld ist dann $$\mathbf E = -c|\mathbf B|\hat y = -\frac{\sigma' u}{2\epsilon_0 c} \hat y = -\frac{\sigma u}{2\epsilon_0 c} \hat y + \mathcal O\left(\frac{u^3}{c^3}\right)$$ Zur niedrigsten Ordnung in$u/c$, können wir einfach ersetzen$\sigma'$mit$\sigma$in beiden Ausdrücken.

Andererseits ist die$\hat x$-Komponente des elektrischen Feldes, die auf die Lorentz-Kontraktion der bewegten Ladungsverteilung zurückzuführen ist

$$\mathbf E' =\left( \frac{\sigma'}{2\epsilon_0}-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\right)\hat x = \left[\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}-1\right)\right] \hat x = \left(\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\frac{u^2}{c^2}\right) \hat x + \mathcal O\left(\frac{u^4}{c^4}\right)$$

Es wäre eine interessante Übung, diese Komponente höherer Ordnung des elektrischen Felds in die selbstkonsistente Analyse aufzunehmen, die früher in Feynmans Ableitung durchgeführt wurde; Ich denke, Sie würden feststellen, dass sich die Welle in einem leichten Winkel nach außen ausbreiten würde (nicht direkt entlang der x-Achse) und dass es einen zusätzlichen Beitrag höherer Ordnung zum Magnetfeld in einer anderen Richtung als geben würde$\hat z$.

Auf jeden Fall auf niedrigster Stufe$u/c$(dh die Grenze kleiner Geschwindigkeiten) ist das elektrische Feld einfach gleich dem induktiven Beitrag.

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Es ist nicht falsch, sich Sorgen über die Idee zu machen, kleine Terme wegzuwerfen; immerhin, wenn sich ein Teilchen mit einer Geschwindigkeit bewegt$v \sim u$, dann ist die Größe der magnetischen Kraft auf das Teilchen vergleichbar mit der elektrischen Kraft aufgrund des zuvor vernachlässigten elektrostatischen Feldes. Beide Kräfte sind es jedoch$u/c$mal kleiner als die Kraft aufgrund des induktiven elektrischen Feldes, und zwar solange wir nur in niedrigster Ordnung arbeiten$u/c$, dann geht es uns noch gut.

Genauer gesagt besteht der Zweck dieser Übung nicht darin, die elektrischen und magnetischen Felder in höheren Ordnungen zu bestimmen$u/c$, sondern um der Art und Weise, wie elektrische und magnetische Felder sich selbstkonsistent miteinander entwickeln, eine physikalische Intuition zu verleihen. Studenten (und ehemalige Studenten :) ) neigen dazu Dinge zu sagen wie "sich ändernde elektrische Felder erzeugen magnetische Felder", was streng genommen nicht stimmt. Keines verursacht das andere, so sehr sie sich gleichzeitig entwickeln , um die Maxwellschen Gleichungen zu erfüllen.

Oft gehen Ausbilder von Maxwells Gleichungen aus, leiten die Wellengleichungen für die elektrischen und magnetischen Felder (oder Potentiale) ab und verwenden sie dann, um solche Dinge zu berechnen. Feynman verfolgt einen eher "bodennahen" Ansatz und verwendet direkt die Maxwell-Gleichungen (zusammen mit einigen physikalischen Erkenntnissen), um die richtige Antwort zu erhalten. Das Problem selbst ist ein bisschen künstlich, aber es funktioniert gut für den beabsichtigten Zweck und ist eine erfrischende Art, Intuition aufzubauen.

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Der erste Teil meiner Frage wurde von J. Murray zufriedenstellend beantwortet.

Der verbleibende Teil ist wirklich eine Fortsetzung meiner vorherigen Frage. Diese Frage könnte umformuliert werden als: Wie kommt Feynman zu dem Ergebnis, dass$E_y\ne{0}$ist zwischen der Quellebene und der Wellenfront konstant?

Die Antwort lautet: Da die Quelle eine unendliche Ebene ist, bilden die Quelle und die Wellenfront eine geschlossene Grenze, weil sie "im Unendlichen" eine gemeinsame Grenze teilen. Für jede Grenze, die die Wellenfront überspannt, wie die in Abbildung 18.6 gezeigte, hängt die zeitliche Änderungsrate des magnetischen Flusses durch die begrenzte Oberfläche nur von der Länge von ab$L$. Wäre die Quelle in ihrer Ausdehnung endlich, würde sich die Wellenfront in alle Richtungen ausdehnen. Die Größe der Magnetfeldvariation an jedem Punkt entlang der Wellenfront würde daher mit der Entfernung vom Strahler abnehmen.

Aber diese Antwort wirft die Frage auf, welche Quelle für das Vorhandensein der Konstante verantwortlich ist$E_y$zwischen Quelle und Wellenfront? Die Antwort lautet, dass der Beitrag eines Rings, der in der Quellenebene liegt und auf dem senkrechten Liniensegment zwischen der Quelle und einem Feldpunkt zentriert ist, an dem das Feld gemessen werden soll, unabhängig vom Radius des Rings ist. Die Übergangszeit, während der die leitende Folie beschleunigt, ist die einzige Zeit, in der ein elektrisches Feld erzeugt wird. Das liegt daran, dass es die einzige Zeit ist, in der es ein sich änderndes Magnetfeld gibt. Da sich der Ereignishorizont der Übergangsperiode entlang der Quellenebene ausdehnt, trägt der dadurch bestimmte Ringraum dasselbe bei$E_y$jederzeit.

Feynmans Blatt hatte eine unendliche Ausdehnung und wurde während der Nullzeit in Bewegung gesetzt. Ist das möglich? Ja, wenn sich das Blech so dehnt, dass es zu keiner Längenkontraktion kommt.

In diesem Fall besteht immer noch ein elektrisches Feld in allen Einzelbildern mit Ausnahme des ursprünglichen Einzelbilds, da sich das Blatt in allen anderen Einzelbildern außer dem ursprünglichen Rest-Einzelbild zusammenzieht oder ausdehnt – während einer Zeit, die nicht Null ist.

Im ursprünglichen Ruhesystem gibt es ein Magnetfeld, weil eine in diesem System ruhende Stromschleife (ein Kompass) bewegte Ladungen enthält, die eine gegenüber der ursprünglichen Ladungsdichte veränderte Ladungsdichte beobachten.

Und eine Testladung spürt ein induziertes elektrisches Feld, wenn die Ladungen auf dem Blech beschleunigt werden, da die Vorstellung der Testladung, wo sich die beschleunigenden Ladungen befinden, von der endlichen Geschwindigkeit der Informationsübertragung beeinflusst wird.

Ich meine, wenn Beschleunigungen von Ladungen richtungsabhängig zu sein scheinen, dann werden scheinbare Änderungen der Ladungsdichte von der Testladung während der Beschleunigung beobachtet. Und da die scheinbare Annäherungsgeschwindigkeit superluminal sein kann, während die scheinbare Rückzugsgeschwindigkeit nicht superluminal sein kann, können wir sehen, dass die scheinbaren Beschleunigungen richtungsabhängig sein müssen.