Eine Frage zur Berechnung des Kometenradius

Hier ist mein Ansatz zur Lösung dieses Problems. Sie geben einige der ersten Schritte an, aber ich werde sie trotzdem der Vollständigkeit halber durchgehen.

Orbitale Distanz

Uns wurde gesagt, dass die Periode ist$T=5.5\:\mathrm{years}$. Damit können wir sofort die Bahnstrecke (genauer gesagt die große Halbachse,$a$). Da wir über einen Kometen sprechen, der die Sonne umkreist, können wir einfach verwenden:

$$T^2 = a^3$$

wo$T$ist die Umlaufzeit in Einheiten von$\mathrm{years}$und$a$ist die große Halbachse in Einheiten von$\mathrm{AU}$. Ich finde, dass$a = 3.116\:\mathrm{AU} = 4.66\times 10^{11}\:\mathrm{m}$. Gut soweit.

Volumen der verdampften Schale

Uns wird gesagt, dass der Radius des Kometen um abnimmt$\Delta R = 20\:\mathrm{cm}$. Wir können davon ausgehen, dass der Komet perfekt kugelförmig ist, und das Volumen der verdunsteten Hülle berechnen, das von beiden abhängen sollte$R$, der Radius des Kometen und$\Delta R$. Dies ist notwendig, da wir die Gesamtmenge an verdunstetem Eis kennen müssen. Das Volumen dieser Schale ist gegeben durch

$$V = \frac{4}{3}\pi(R^3-(R-\Delta R)^3)$$ $$V = \frac{4}{3}\pi(R^3-R^3+3R^2\Delta R-3R\Delta R^2 + \Delta R^3)$$ $$V = \frac{4}{3}\pi(3R^2\Delta R-3R\Delta R^2)$$ $$V = 4\pi R^2\Delta R\left(1-\frac{\Delta R}{R}\right)$$

Beachten Sie, dass ich hier eine bestimmte Wahl getroffen habe. Ich habe die fallen gelassen$\Delta R^3$Begriff aus der zweiten Zeile. Der Grund dafür ist, dass es sich um einen Term dritter Ordnung handelt und$\Delta R^3 \ll R\Delta R^2$. Sie könnten argumentieren, dass ich den Term zweiter Ordnung streichen könnte,$R\Delta R^2$seit$R\Delta R^2 \ll R^2\Delta R$, aber ich entscheide mich dafür, diesen Term zweiter Ordnung beizubehalten, damit wir mit an enden$R$in der endgültigen Antwort zu lösen.

Leistungsaufnahme

Der nächste Schritt besteht darin, den gesamten Energieeintrag pro Sekunde in diesen Kometen zu finden, zB die Leistung. Sie haben diesen Teil im Grunde bereits definiert. Der Fluss auf diesem Kometen ist definiert als

$$F = \frac{L_\odot}{4\pi a^2}$$

Die Leistungsaufnahme ist einfach der Fluss multipliziert mit der Fläche des Kometen.

$$P_{\mathrm{in}} = FA = \frac{L_\odot}{4\pi a^2} \pi R^2 = \frac{1}{4}L_\odot \frac{R^2}{a^2}$$

Beachten Sie, dass dies davon ausgeht, dass sich der Komet auf einer kreisförmigen Umlaufbahn befindet und sich daher immer auf dem Umlaufradius von befindet$a$. Wenn die Umlaufbahn des Kometen irgendeine Art von Exzentrizität aufwies, dann$F$wäre eine Funktion des Radius und Sie hätten es viel schwerer.

Verdampfungsenergie

Jetzt müssen wir die Gesamtenergie berechnen, die erforderlich ist, um die verdampfte Volumenhülle zu verdampfen$V$von oben. Um ein festes Eis zu verdampfen, müssen Sie vier Erwärmungsstufen durchlaufen. Zuerst erhöhst du die Temperatur des Eises auf den Schmelzpunkt. Der Energieaufwand hierfür wird durch die spezifische Wärmekapazität für Eis,$c_{\mathrm{ice}}$. Dann fügen Sie Energie hinzu, um das Eis in Wasser umzuwandeln. Der Energieeintrag hierfür wird durch die Schmelzwärme definiert,$\ell_f$. Jetzt können Sie die Temperatur des Wassers erhöhen, bis es die nächste Stufe erreicht. Diese wird durch die spezifische Wärme des Wassers definiert,$c_{\mathrm{water}}$. Schließlich fügen Sie Energie hinzu, um das Wasser in Gas umzuwandeln, definiert durch die latente Verdampfungswärme,$\ell_v$.

All dies kann in einer einzigen Gleichung zusammengefasst werden.

$$E_{\mathrm{evap}} = c_{\mathrm{ice}}(m_{\mathrm{shell}}\Delta T_1) + \ell_fm_{\mathrm{shell}}+c_{\mathrm{water}}(m_{\mathrm{shell}}\Delta T_2) + \ell_vm_{\mathrm{shell}}$$

$$E_{\mathrm{evap}} = (c_{\mathrm{ice}}\Delta T_1 + \ell_f +c_{\mathrm{water}}\Delta T_2 + \ell_v)m_{\mathrm{shell}}$$

Jeder der Terme in dieser Gleichung berücksichtigt die Energiezufuhr einer der oben beschriebenen Stufen. Beachten Sie, dass$\Delta T_1$ist die Temperaturänderung von der Anfangstemperatur bis zum Schmelzpunkt ($273.15\:\mathrm{K}$). Eine vernünftige Temperaturänderung könnte sein$73.15\:\mathrm{K}$(bei einer Anfangstemperatur von ca$200\:\mathrm{K}$), basierend auf der von Rosetta bestimmten Temperatur des Kometen 67P . Die$\Delta T_2$ist die Temperaturänderung vom Schmelzpunkt zum Siedepunkt, die notwendig ist$100\:\mathrm{K}$.

Sie können irgendwo in einer Tabelle nachsehen und das finden$c_{\mathrm{ice}} = 2.108\:\mathrm{kJ\:kg^{-1}\:K^{-1}}$und$c_{\mathrm{water}} = 4.187\:\mathrm{kJ\:kg^{-1}\:K^{-1}}$.

Zuletzt müssen Sie die Masse der verdampften Hülle definieren,$m_{\mathrm{shell}}$. Dies ist einfach das bereits ermittelte Volumen, multipliziert mit der Dichte von Eis/Wasser. Technisch gesehen werden diese Dichten unterschiedlich sein, aber sie sind nahe genug, dass wir sie einfach verwenden können$\rho_{shell} = 1000\:\mathrm{kg\:m^3}$. Letztendlich haben wir also:

$$E_{\mathrm{evap}} = (c_{\mathrm{ice}}\Delta T_1 + \ell_f +c_{\mathrm{water}}\Delta T_2 + \ell_v)V \rho_{\mathrm{shell}}$$

Der Einfachheit halber werde ich definieren

$$\eta \equiv (c_{\mathrm{ice}}\Delta T_1 + \ell_f +c_{\mathrm{water}}\Delta T_2 + \ell_v)$$

damit

$$E_{\mathrm{evap}} = 4\pi \eta \rho_{\mathrm{shell}} R^2\Delta R\left(1-\frac{\Delta R}{R}\right)$$

Alles zusammenfügen

Wir kennen jetzt die Gesamtenergie, die notwendig ist, um die des Kometen zu verdampfen$20\:\mathrm{cm}$Schale sowie den Energieeintrag pro Sekunde. Wir wissen, dass es diese Energiezufuhr pro Sekunde für eine Umlaufzeit von erhält$5.5\:\mathrm{years}$was bedeutet, dass wir sagen können:

$$T = \frac{E_{\mathrm{evap}}}{P_{\mathrm{in}}}$$

$$T = \frac{4\pi \eta \rho_{\mathrm{shell}} R^2\Delta R\left(1-\frac{\Delta R}{R}\right)}{\frac{1}{4}L_\odot \frac{R^2}{a^2}}$$

$$T = 8\pi \eta \rho_{\mathrm{shell}} \Delta R \frac{a^2}{L_\odot} \left(1-\frac{\Delta R}{R}\right)$$

Nochmals, der Einfachheit halber werde ich definieren

$$\xi \equiv 8\pi \eta \rho_{\mathrm{shell}} \Delta R \frac{a^2}{L_\odot}$$

damit

$$T = \xi \left(1-\frac{\Delta R}{R}\right)$$

Es sollte jetzt ziemlich einfach sein, das zu sehen

$$\boxed{R = \frac{\Delta R}{1-T/\xi}}$$

Der Rest ist einfach alles einstecken.