Eine seltsame Frage zum Cutoff-Punkt eines RC-Tiefpassfilters

Ihre Verwirrung scheint dadurch zu entstehen, dass Sie denken, dass die Mathematik nahelegt, dass es mehrere mögliche Ausgänge geben würde, aber Ihre Intuition sagt, dass es nur einen geben sollte. Die Antwort ist, dass es nur eine Ausgabe gibt, und hier ist der Grund.

Ein RC-Tiefpassfilter ist ein lineares System.

Für lineare Systeme gilt Folgendes.

F(X1 + X2 + X3 ...) = Y1 + Y2 + Y3 ...

Was einfach bedeutet, dass ...

Wenn der Eingang X1 den Ausgang Y1 erzeugt.

Und

Wenn der Eingang X2 den Ausgang Y2 erzeugt.

Dann

Eingang (X1 + X2) erzeugt Ausgang (Y1 + Y2)

Eine Sprungantwort, die alle Frequenzen enthält, erzeugt einfach eine Ausgabe, die die Summe der Antwort des Filters bei jeder Frequenz ist. Beachten Sie, dass, obwohl unendlich viele Elemente addiert werden, ihre Summe zu jedem Zeitpunkt gegen eine endliche Zahl konvergiert. Diese Summe ist ein exponentieller Abfall, der schließlich den Wert der Stufeneingabe erreicht.

Sie dürfen nicht vergessen, dass das Amplitudendiagramm nur die Hälfte der Informationen ist, die Ihnen ein Bode-Diagramm liefert: Die andere Hälfte ist die Phase , und Sie vernachlässigen, dass dies eine unterschiedliche Verzögerung für die verschiedenen Spektralteile Ihres Eingangssignals impliziert.

Wenn Sie wissen, dass die Fourier-Komponenten einer Stufenfunktion alle Frequenzen umfassen, und Sie wissen, dass der Tiefpassfilter bei 6 dB pro Oktave mit einer Phasenverschiebung gedämpft wird, die von zwei Dekaden unter dem Haltepunkt nahe Null und 45 ° außerhalb des Haltepunkts geht und sich dann 90 nähert ° Zwei Dekaden über dem Knickpunkt ist natürlich die Impedanz des Widerstands gleich der Impedanz der Reaktanten und die scheinbare Amplitude dieses rechtwinkligen Dreiecks beträgt 0,707 mit einer Phasenverschiebung von 45 Grad.

Das Fourier-Spektrum und die Phasenverschiebung der Ausgabe des Tiefpassfilters stimmen mit der Übertragungsfunktion des Filters selbst überein

Ich verstehe die Beziehung zwischen der Zeitkonstante RC zu 1/(2*pi*f_c). Ich verstehe, dass es einen Kompromiss zwischen der Größe der Zeitkonstante und dem Grenzfrequenzpunkt des Kondensators gibt. Ich verstehe, dass dieser Punkt die Größe der "Phasenverschiebung" usw. bestimmt.

Sie sprechen hier von der Übertragungsfunktion und nicht von der Reaktion auf einen Schritt. Die Übertragungsfunktion entspricht der Antwort einer "gekehrten" Sinuswelle am Eingang und nicht einer Sprungänderung. Schrittänderungen werden im Frequenzbereich unterschiedlich gehandhabt.

Aber wenn ich eine Schrittfunktion anwende, sagen wir zum Zeitpunkt t_0. Dann sind genau zu diesem Zeitpunkt alle Frequenzen gegeben. Genau zu diesem Zeitpunkt sollte der Kondensator also alle Eigenschaften aller Frequenzen haben. Vout/Vin sollte also genau zum Zeitpunkt t_0 eine unendliche Anzahl von Werten erhalten. Also, wie macht das Sinn?

Was Sie falsch machen, ist, dass Sie versuchen, eine Stufenfunktion auf eine Übertragungsfunktion anzuwenden. Das muss anders gemacht werden. Wenn Sie sich im Zeitbereich befinden, können Sie Frequenzbereichs- und Zeitbereichsreize und Übertragungsfunktionen nicht ohne weiteres (ohne Sorgfalt) mischen und anpassen.

Wenn Sie sich im Frequenzbereich befinden, können Sie das Äquivalent eines Schritts ganz einfach in eine Übertragungsfunktion mischen. Aber im Frequenzbereich sieht ein "Schritt" mathematisch nicht so aus wie im Zeitbereich.

Die beiden Domänen sind durch "Laplace" eng miteinander verwandt, aber sie können sich nicht so leicht vermischen, ohne von einer in die andere umgewandelt zu werden .

• Betrachten Sie Ihren RC-Tiefpassfilter - er hat einen TF von$\dfrac{1}{1+sCR}$
• Ein Schritt in den Frequenzbereich ist$\dfrac{1}{s}$
• Sie können sie in der f-Domäne multiplizieren, um sie zu erhalten$\dfrac{1}{1+sCR}\cdot\dfrac{1}{s}$
• Und Sie können dies mithilfe von Laplace-Tabellen wie in diesem ähnlichen Beispiel wieder in die t-Domäne umwandeln: -

Das ist die normierte Antwort eines RC-Tiefpassfilters auf eine Schrittänderung mit a = 1/RC.

Also, wie macht das Sinn? Sollte der Kondensator nicht für jeden Zeitpunkt ein Verhalten haben?

Im Zeitbereich verlassen wir uns auf I = C dv/dt für einen Kondensator und im Frequenzbereich verlassen wir uns auf die Impedanz eines Kondensators$\dfrac{1}{sC}$.

Wo s = jw also Xc =$\dfrac{1}{2\pi F C} \angle -90$

Eine sehr weise Person (ehemals Bell Labs und ehemaliger Tek-Scope-Entwickler), deren jüngste Designs wahrscheinlich Ihre Telefondatenraten definieren, sagte es ganz einfach

"Signale passieren in der Zeit, nicht in der Frequenz"

Darauf aufbauend bin ich zu dem Schluss gekommen: „Frequenz ist nur eine Möglichkeit, die Periodizität der Spitzenkorrelation anzuzeigen.“

Danke euch allen für eure erhellenden Antworten. Hat so sehr geholfen! Ich möchte Ihren Antworten die folgenden zwei großartigen Videos hinzufügen. Zusammen mit Ihren Antworten hat es mir das volle Verständnis gegeben, vielleicht hilft es anderen:

Arthur Mattuck MIT 1

Arthur Mattuck MIT 2

Danke!