"Energieerhaltung oder deren Fehlen" in der Quantenmechanik

Erster Punkt: Die Autoren neigen dazu, in der Viele-Welten-Interpretation einen sehr „stringenten“ Blick auf „Welten“ zu nehmen. Ich nehme dies in Frage. Ich denke, "viele Welten" ist eine falsche Bezeichnung. Bessere Namen für die Everettsche Interpretation wären „strenge einheitliche Evolution“, „universelle Wellenfunktion“ oder, mein Favorit, „Kirche des großen Hilbert-Raums“. Denn die „vielen Welten“ sind eher „weiche“ als „harte“ Grenzen. Dies insbesondere deshalb, weil eine "Spaltung" von Welten im Prinzip immer durch die Umkehrung des sie trennenden Einheitlichen rückgängig gemacht werden kann.

Nun zu Ihrer Frage. Zunächst einmal würde ich sagen, dass es keinen Sinn macht, diese Frage für ein System zu diskutieren, das nicht geschlossen ist. Offene Systeme weisen fast per Definition keine Energieeinsparung auf. Niemand erwartet sie. Daher können wir Ihre Möglichkeiten 1 und 2 außer Betracht lassen, da es sich um Situationen handelt, die unterspezifiziert sind, um die globale Energieeinsparung zu bestimmen.

Antwort auf Frage a): Also ich wiederhole, dieses Beharren auf der Realität von Welten in MWI ist meiner Meinung nach naiv. Es ist wahr, dass sich eine Wellenfunktion, die als ein einziger Term ausgedrückt werden könnte, zu einer entwickeln könnte, die mehrere Terme erfordert, aber sie kann sich auch rückwärts entwickeln. Außerdem kann manchmal, was wie viele Begriffe aussieht, nur ein Begriff sein, wenn Sie ihn auf einer anderen Basis ausdrücken. Es mag "für alle praktischen Zwecke" wahr sein, dass Sie die Wellenfunktion in einem bestimmten Fall nicht umkehren können. Aber wenn wir über Mathematik sprechen, kümmern wir uns nicht im Geringsten um die Praktikabilität, und die Everettsche Interpretation ist eine sehr mathematische.

Sagen wir also, Energie verlässt einen „Zweig“ und geht zu einem anderen? Nein. Ich finde diese Sprache schrecklich verwirrend. Vergessen wir die Sprache der Verzweigungen und betrachten wir einfach die mathematische Entwicklung einer Wellenfunktion unter dem Hamilton-Operator.

Erstens machen wir eine viel stärkere Aussage als "Die durchschnittliche Energie des Systems bleibt erhalten". Vielmehr bleibt die Größe der universellen Wellenfunktion*, um eine gegebene Energie zu haben, über die Zeit erhalten. Staat einnehmen$|\psi\rangle$und in der Energiebasis ausdrücken:

$$\tag{1} U|\psi\rangle = e^{-i\frac{H}{\hbar}t} \sum_n c_n |n\rangle = \sum_n e^{-i \frac{E_n}{\hbar}t} c_n |n\rangle$$

Der Hamiltonoperator kann Zustände unterschiedlicher Energie nicht mischen, daher ist das Gewicht jedes Terms$|c_n|^2$wird konserviert.

Ich schweife ein wenig ab. Ich möchte das Beispiel in der verknüpften Frage der Photonenabsorption genauer betrachten. Der Atom-Photon-Hamilton-Operator in einem geschlossenen System (z. B. einem hochwertigen optischen Resonator) ist$(\hbar=1)$, im Rotationsrahmen (der Rotationsrahmen macht den Hamilton-Operator zeitunabhängig, alternativ könnten wir ein System in Betracht ziehen, das nur diesen Hamilton-Operator aus der Tür hat):

$$H = -\Delta a^{\dagger} a + \frac{\Omega}{2}(a^{\dagger}\sigma^+ + a\sigma^-)$$

$\Delta = \omega_{\text{photon}} - \omega_{\text{atom}}$. In diesem rotierenden Rahmen, wenn$\Omega = 0$(keine Kopplung), dann sehen wir, dass der Zustand$|0, g\rangle$hat 0 Energie, der Zustand$|0, e\rangle$hat auch 0 Energie (das liegt an der Wahl des rotierenden Rahmens). Die Staaten$|1, g\rangle$Und$|1, e \rangle$jeder hat$-\Delta$Energie.

Ein Absorptionsübergang aus$|1, g\rangle \rightarrow |0, e\rangle$naiverweise sieht es so aus, als würde es nicht um einen bestimmten Betrag Energie sparen$\Delta$.

Ein solcher Übergang findet jedoch nicht statt, es sei denn$\Omega$ist ungleich Null. Aber wenn$\Omega$nicht Null ist, können wir das sehen$|1, g\rangle$eigentlich kein Eigenzustand mehr ist! Die eigentlichen Eigenzustände sind Überlagerungen der$|1, g\rangle$Und$|0, e\rangle$Zustände:$|+\rangle$Und$|-\rangle$, die sogenannten gekleideten Staaten!

$$\begin{align} |+\rangle =& \sin(\theta)|g\rangle + \cos(\theta)|e\rangle\\ |-\rangle =& \cos(\theta)|g\rangle - \sin(\theta)|e\rangle \end{align}$$

Wo$\theta$ist definiert durch$\tan(2\theta) = -\Omega/\Delta$. Wenn wir diese Transformation umkehren, haben wir:

$$\begin{align} |g\rangle =& \sin(\theta)|+\rangle + \cos(\theta)|-\rangle\\ |e\rangle =& \cos(\theta)|+\rangle - \sin(\theta)|-\rangle \end{align}$$

Also wenn das System anspringt$|1, g\rangle$es ist eigentlich schon eine Überlagerung von$|+\rangle$Und$|-\rangle$, enthält also BEREITS eine Überlagerung von Energiezuständen. Die Energien werden durch gegeben

$$E_{\pm} = -\frac{\Delta}{2} \pm \frac{\sqrt{\Omega^2 + \Delta^2}}{2}$$

Für$\Omega \rightarrow 0$wir haben$E_+\rightarrow 0$Und$E_-\rightarrow -\Delta$. Weil$|1, g\rangle$kein Eigenzustand des Systems ist, kann er beispielsweise unter der Hamiltonschen Evolution in einen anderen Zustand übergehen$|0, e\rangle$. Unter unseren naiven Gedanken über Energie sieht es so aus, als hätte sich das System in der Energie um einen Betrag verändert$\Delta$. Aber wenn Sie das System in die tatsächliche Energie-Eigenbasis zerlegen, werden Sie sehen, dass die Gewichtungen der gekleideten Zustände,$|\pm\rangle$bleiben mit Ausnahme ihrer relativen Phase unverändert.

Ich bin mir nicht sicher, was ich hier noch sagen soll. Gl. (1) zeigt uns, dass ein System, das in einer Überlagerung von Energiezuständen beginnt, immer in der gleichgewichteten Überlagerung dieser Energiezustände bleibt. Das ist das Beste, was die Quantenmechanik leisten kann. Das meine ich, wenn ich sage, dass die Quantenmechanik Energie spart. Dies impliziert natürlich die schwächere Aussage, dass die mittlere Energie eines Systems erhalten bleibt.

Das zweite Beispiel erinnert uns daran, dass sich bei gekoppelten Systemen ihre Energien ändern, und wir müssen in der „angezogenen“ Basis denken, wenn wir bei der Verfolgung der Energie im System sehr vorsichtig sein wollen. Wir müssen uns daran erinnern, dass die entkleideten Zustände keine Eigenzustände des Systems sind. Dieses Beispiel ist sehr relevant, wenn man über die Absorption von außerresonanten Photonen nachdenkt, was die Diskussion überhaupt erst angespornt hat.

*Allgemein als Wahrscheinlichkeit dieser Komponente bezeichnet, aber natürlich ist die Wahrscheinlichkeit in MWI etwas umstritten.

Es scheint mir, dass der Bericht (ich glaube nicht, dass er von Experten begutachtet wurde) von Carroll und Lodman einfach falsch ist.

Sie können sich ein Würfelpaar vorstellen, das vor langer Zeit geworfen wurde (unbekannte Anfangsbedingungen) und dann für immer stehen bleiben (Zeitentwicklung, die den Wert jedes Würfels erhält). Bevor Sie sich einen der beiden Würfel ansehen, ist Ihre Erwartung für den Gesamtwert 7. Sie sehen sich einen von ihnen an und stellen fest, dass er 2 anzeigt. Ihre Erwartung für den Gesamtwert springt von 7 auf 5½. Sie sehen sich die andere an und stellen fest, dass sie 6 anzeigt. Ihre Erwartung für den Gesamtwert springt von 5½ auf 8. Die Tatsache, dass sich der Erwartungswert ständig ändert, bedeutet nicht, dass die Summe nicht erhalten bleibt. Sie haben keinen Grund zu der Annahme, dass die tatsächliche Summe nicht immer 8 war.

Ich habe den Bericht überflogen und nichts darin gefunden, das ausgefeilter ist als dieses Beispiel. Sie berücksichtigen nur Messungen, die mit dem Hamilton-Operator pendeln, daher ist ihre gesamte Argumentation im Wesentlichen klassisch.

Sie schlagen einen Weg vor, um die Verletzung der Energieerhaltung experimentell zu beobachten:

1. Versetzen Sie ein Primärsystem 1 in einen bekannten Quantenzustand, der eine Überlagerung von Energieeigenzuständen ist.
2. Verschränken Sie dieses System mit einem Sondensystem 2 auf eine Weise, die keine wesentlichen Energieübertragungen beinhaltet.
3. Messen Sie den Zustand des Sondensystems 2 wieder auf eine Weise, die keine wesentlichen Energieübertragungen mit sich bringt.
4. Beenden Sie mit dem Primärsystem 1 in einem (zumindest ungefähren) Energieeigenzustand, mit einem wesentlich anderen Energiewert als das System, mit dem begonnen wurde.

Wie hoch sind die Energiekosten für Schritt 1? Sie wissen es nicht, weil es von der Energie des Primärsystems nach Schritt 1 abhängt, die Sie aufgrund der Annahme nicht kennen. Wenn Sie messen könnten, wie viel Energie Sie in Schritt 1 verbraucht haben, wäre das Primärsystem nach dieser Messung in einem Energie-Eigenzustand, und Sie könnten die Schritte 2–4 nicht ausführen. Aber wenn Sie nicht messen können, wie viel Energie Sie verbraucht haben, dann haben Sie keinen Beweis dafür, dass während des Experiments keine Energie gespart wurde.