Enthält eine magnetisierte Kugel Energie?

Ich glaube, diese Frage ähnelt "enthält ein Permanentmagnet Energie", was ich als nein verstehe, aber ich möchte nur sicher sein. Angenommen, wir haben eine gleichmäßig magnetisierte Kugel mit Magnetisierung$M_0\hat{z}$und Radius$R$. Ich verstehe die resultierenden Felder als:

$$\vec{H}_{in} = -\frac{M_0}3\hat{z}$$ $$\vec{B}_{in} = \frac{2\mu_0M_0}3\hat{z}$$ Für r < R, und $$\vec{H}_{out} = \frac{M_0}3\frac{R^3}{r^3}[2\cos(\theta)\hat{r}+\sin(\theta)\hat{\theta}]$$ $$\vec{B}_{out} = \mu_0 \vec{H}_{out}$$ für r > R. Um also die Gesamtenergie zu erhalten, muss ich das Volumenintegral lösen: $$U_M=\frac{1}2 \int{\vec{H} \cdot \vec{B}dV}$$ --EDIT: Hier sind meine Zwischenschritte, falls jemand offensichtliche Fehler sieht. $$U_{in} = \frac{1}2(\frac{4}3 \pi R^3)(-\frac{2 \mu_0 M_0^2}9)= -\frac{4}{27} \pi R^3 \mu_0 M_0^2$$ $$U_{out} = \frac{1}2 \int_0^{2\pi} { \int_0^{\pi} { \int_{R}^{\infty}{ \mu_0 (\frac{M_0}3)^2 (\frac{R}{r})^6 [3\cos^2(\theta)+1] r^2 \sin{\theta} dr d\theta d\phi} } }$$ $$U_{out} = \frac{\pi \mu_0 M_0^2 R^6}{9} \int_0^{\pi} { \int_{R}^{\infty}{ \frac{1}{r^4} [3\cos^2(\theta)+1] \sin{\theta} dr d\theta} }$$ --ENDE BEARBEITEN

Dies löst sich wie folgt auf:

$$U_{in} = -\frac{4}{27} \pi R^3 \mu_0 M_0^2$$ $$U_{out} = \frac{4}{27} \pi R^3 \mu_0 M_0^2$$ Das bedeutet, dass die Gesamtenergie des permanent magnetisierten Systems Null ist. Ist dies nur ein spezieller Fall, der zeigt, dass ein Permanentmagnet keine Energie hat? Meine Verwirrung entsteht durch den Versuch, ein Problem mit einem magnetischen Material in einem gleichmäßigen Magnetfeld zu lösen. Anstatt das Problem auf herkömmliche Weise zu lösen, wollte ich die im gleichförmigen Feld gespeicherte Energie, die in der magnetisierten Kugel gespeicherte Energie und die "Energiekopplung" zwischen diesen beiden Körpern finden. Ähnlich wie eine Gegeninduktivität, wenn man so will. Aber mein Argument fällt schnell auseinander.

Eine andere Art, meine Frage zu formulieren: Ich bin verwirrt, warum man mit einem Permanentmagneten, einer Quelle des magnetischen Flusses, keinen Begriff der gegenseitigen Induktivität definieren kann.