Fourier-Reihe des modifizierten Sinus

Ich muss diese Aufgabe erledigen:

Abbildung 1

Kurz übersetzt: Bild zeigt modifiziertes Sinussignal. Ich muss F(k) mit Fourier-Reihe berechnen, als nächstes Amplitudenspektrum und Phasenspektrum zeichnen.

Ich habe 2 Probleme:

  1. Ist dies der richtige Weg, um F (k) zu berechnen? (T-Periode (2pi/w), w-Kreisfrequenz)

  2. Kann jemand erklären, wie das Amplituden- und Phasenspektrum aussehen sollte?

Danke für jede Hilfe/

+1 für eine ziemlich klare Frage. Sie könnten es jedoch verbessern, indem Sie die hier verfügbare mathematische Notation verwenden, und möglicherweise auch Ihren Aufwand in Bezug auf Punkt 1 erläutern.
Etwas seltsam ist, dass das Signal eine (kleinste) Periode von zu haben scheint T / 2 , nicht T .
@Dzarda Ich habe ein Problem mit dem Integral. Zuerst dachte ich, dass Integral von 0 bis pi/2w (T/4) sein sollte, aber mein Freund denkt, dass es von 0 bis pi/4w (T/8) sein sollte. Wir versuchen jemanden zu finden, der unsere Lösungen überprüfen kann.
kannst du irgendwelche Arbeiten zeigen, die du gemacht hast?
@MattL. Ich habe Sinus gegen Eulers Formel ausgetauscht.
@cjferes Ich habe nur Formeln von Wolfram Alpha gemacht. Ich habe das gleiche Ergebnis, aber ich bin mir nicht sicher über den Bereich des Integrals.
Der Bereich des Integrals sollte T / 2 sein, da dies die Periode der modifizierten Sinuskurve ist. Wenn Sie ein anderes Intervall betrachten, sagen Sie im Grunde, dass sich die Inhalte der Integrale in jedem Intervall wiederholen ... wenn Sie T / 4 oder T / 8 betrachten, berücksichtigen Sie nicht den Teil des Intervalls ohne Signal.
@cjferes Aber wie zeigt man diesen Teil ohne Signal in der Formel? Basis ist sin(4wt), aber was kommt als nächstes?

Antworten (1)

Das ist zu lang für einen Kommentar. Ich brauchte auch den zusätzlichen Platz. Fühlen Sie sich frei, alles zu kommentieren.

Was Sie wirklich fragen, ist, ob die Berechnung mit T / 8 oder T / 4 oder T / 2 durchgeführt wird. Die Sache ist, dass das Signal eine Periode von T/2 hat, das ist also der Wert, den Sie verwenden müssen. Jetzt müssen wir auch das Zeitintervall berücksichtigen, in dem das Signal 0 ist. Dazu müssen wir das Signal richtig definieren.

Das erste, was Sie tun sollten, ist das Signal zu beschreiben, das heißt:

F ( T ) = { | A Sünde ⁡ ( 2 π 4 T T ) | T ∈ ( 0 + k T 2 , T 4 + k T 2 ) , k ∈ Z 0 T ∈ ( T 4 + k T 2 , T 2 + k T 2 ) , k ∈ Z

Beachten Sie, dass die Sinuskurve die Amplitude A und die Periode T/4 hat, aber die zweite Halbperiode positiv ist (also verwenden wir den Absolutwert).

Der Ausdruck für f(t) ist derselbe wie:

F ( T ) = { A Sünde ⁡ ( 2 π 4 T T ) T ∈ ( 0 + k T 2 , T 8 + k T 2 ) , k ∈ Z − A Sünde ⁡ ( 2 π 4 T T ) T ∈ ( T 8 + k T 2 , T 4 + k T 2 ) , k ∈ Z 0 T ∈ ( T 4 + k T 2 , T 2 + k T 2 ) , k ∈ Z
Erinnere dich daran
C N = 1 P ∫ T 0 P + T 0 F ( T ) e − 2 π J N P T D T

In unserem Fall ist P die Periode (P=T/2), j ist die imaginäre Einheit und t_0 ist der Anfangszeitpunkt (z. B. t_0=0). Dann,

C N = 2 T ∫ 0 T 2 F ( T ) e − 2 π J 2 N T T D T = ICH 1 + ICH 2 + ICH 3
wo ich nur I_1 berechnen werde, um die Idee zum Laufen zu bringen:
ICH 1 = 2 T ∫ 0 T 8 A Sünde ⁡ ( 8 π T T ) e − 2 π J 2 N T T D T = 2 A T ∫ 0 T 8 e J 8 π T T − e − J 8 π T T 2 J ⋅ e − J 4 π N T T D T = A J T ∫ 0 T 8 e J 8 π T T e − J 4 π N T T D T − A 2 J ∫ 0 T 8 e − J 8 π T T e − J 4 π N T T D T = A J T ( T 8 π − 4 π N e J 2 π 2 − N T T | 0 T 8 − T − 8 π − 4 π N e − J 2 π 2 + N T T | 0 T 8 ) = A J T ( T 8 π − 4 π N ( e J 2 π 2 − N T T 8 − 1 ) + T 8 π + 4 π N ( e − J 2 π 2 + N T T 8 − 1 ) ) = A J ( 1 8 π − 4 π N ( e J π 2 − N 4 − 1 ) + 1 8 π + 4 π N ( e − J π 2 + N 4 − 1 ) ) ICH 2 = 2 T ∫ T 8 T 4 − A Sünde ⁡ ( 8 π T T ) e − J 4 π N T T D T = . . . ICH 3 = 2 T ∫ T 4 T 2 0 e 2 π J 2 N T T D T = 0

Ich glaube, das ist alles, was Sie jetzt brauchen, um Ihre Berechnungen richtig zu machen ... Viel Glück!

Von 0 bis pi/4 sieht das schrecklich nach der Funktion sin^2() aus.
Es ist nicht dasselbe, weil Sie nur eine Sinuskurve mit einer anderen Periode in Betracht ziehen. Beachten Sie, dass die Periode der Sinuswelle T/4 ist, aber einen absoluten Wert hat, der das Verhalten in der zweiten Halbperiode ändert. Wenn es eine Sünde^2 wäre, müssten Sie viele verschiedene Schritte ausführen oder andere Fourier-Transformationseigenschaften verwenden
@cjferes Danke für die Hilfe. Ist es richtig, I1 zu berechnen und als nächstes die Theorie über das verschobene Signal zu verwenden, um I2 zu erhalten?
@bigben Ich denke, das ist ein nützlicher Ansatz, aber ich habe es nicht versucht. Beachten Sie, dass der Integrand von I2 derselbe ist wie der von I1 mit einem Minuszeichen, aber die Integrationsgrenzen unterschiedlich sind. Ich denke also, dass sich die Dinge summieren, anstatt sich aufzuheben. Versuchen Sie einfach, bei jedem Berechnungsschritt sicher zu sein, da diese Dinge durcheinander geraten können, wenn Sie nicht streng sind. Versuchen Sie es!
Fourier-Reihe des modifizierten Sinus
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