Heute habe ich die Theorie hinter der Fourier-Transformation überprüft, und ich habe mir eine Frage gestellt, die ich während des Prozesses nicht beantworten konnte.
Theorie: Eine periodische Wellenform hat eine Fourier- Reihe , die als Abtastung der entsprechenden aperiodischen Wellenform angesehen werden kann (dh die Reihe einer Rechteckwelle ist die Abtastung der Transformation eines einzelnen Rechtecks). Ein Rechteck und eine Rechteckwelle haben also unterschiedliche harmonische Komponenten.
Und jetzt meine Frage (Rechteckwelle ist nur ein Beispiel, die Frage ist auf jede aperiodische Funktion anwendbar): Ein digitaler Treiber (ein Taktgenerator, wenn Sie wollen) treibt eine Rechteckwelle mit der Frequenz f an . Es beginnt mit einem einzelnen "Rechteck", sein Spektrum ist das der Fourier-Transformation eines Rechtecks? Dann geht es weiter mit vielen anderen – unendlichen – Rechtecken und man kann sagen, dass es tatsächlich eine periodische Wellenform ist (oder zumindest bis zu diesem Punkt war), ist ihr Spektrum das einer Rechteckwelle?
Wenn ich das Signal mit einem Spektrumanalysator betrachte, sehe ich natürlich die für eine Rechteckwelle typischen ungeraden Harmonischen ... Und es ist absurd zu sagen, dass sich das Spektrum des Signals ändert (zunächst das eines Rechtecks und dann das von eine Rechteckwelle). Was passiert da also wirklich?
Ich hoffe, Sie sehen die Inkongruenz, auf die ich hinweisen möchte, und ich würde sagen, dass dies kein nutzloser Gedanke ist, da das Spektrum eines Signals angibt, wie sich das Signal durch das Medium ausbreitet.
BEARBEITEN
Aus den Kommentaren geht hervor, dass die Frage nicht klar genug war, lassen Sie mich Folgendes hinzufügen:
"Sie fragen sich, warum Sie nicht beobachten, wie sich das Spektrum in Ihrem Analysator zwischen der 1. Rechteckwelle und jeder folgenden Rechteckwelle beim Durchgang ändert?" --> Meine Frage ist, ob diese Änderung wirklich stattfindet und wie sie Sinn machen kann. Wenn das wirklich passiert ist, ist klar, warum der Spektrumanalysator es nicht anzeigen würde.
EDIT 2 : Klären Sie die Bedeutung von Rechteck und Rechteckwelle
Wenn ich mich auf ein "Rechteck" oder "einzelnes Rechteck" beziehe, meine ich im Grunde eine einzelne Periode der Rechteckwelle. Genauer gesagt reichen die steigende Flanke, High-Pegel und dann die fallende Flanke. Es als "Quadrat" zu bezeichnen, klang für mich nicht richtig. Ich sehe also eine "Rechteckwelle" als eine Reihe von "Rechtecken".
Die Fourier-Transformation ist eine lineare Transformation. Das heißt, die Transformation einer langen Reihe von Impulsen ist identisch mit der Addition der vollständigen komplexen Transformation jedes einzelnen Impulses. Wenn Sie dies versuchen, indem Sie den Zeitversatz jedes Impulses und das unterschiedliche FT-Phasenergebnis, das dies impliziert, sorgfältig respektieren, werden Sie etwas Interessantes sehen. Was passiert, ist, dass sich die Spektren bei den harmonischen Frequenzen verstärken (aufgrund der Phase bei dieser Frequenz aller einzelnen FTs, die identisch sind), und alle anderen Frequenzen beginnen, destruktiv zu interferieren (aufgrund der Nichtausrichtung der Phase jedes Impulses). FT von allen anderen) und wird somit gegen Null tendieren.
Dies liegt daran, dass die Phasen einer beliebigen Frequenz nur dann alle übereinstimmen, wenn Impulse hinzugefügt werden, die um einen identischen Betrag beabstandet sind, der einem genauen ganzzahligen Vielfachen der Periode entspricht. zB periodisch. Die Phasen aller anderen Frequenzen werden „verwürfelt“. Und mehr durcheinander, je mehr Sie sie zusammenfügen. Summieren schließlich auf nahezu Null (relativ zu den Spitzen).
Auf diese Weise geschieht die Änderung durch konstruktive und destruktive Interferenz der Fourier-Spektren, wenn die Impulse hinzugefügt werden, wodurch ein einzelnes Sinc-ähnliches Spektrum allmählich in etwas umgewandelt wird, das sich den Spektren eines langperiodischen Signals annähert, das ein Kamm von Harmonischen ist.
Beachten Sie, dass Sie für diese Addition die vollständige komplexe Transformation (einschließlich Phase) benötigen, nicht nur ein Magnitudenspektrum. Das lange FFT-Fenster eines Spektrumanalysators tut dies.
Hinzugefügt: Sie können die Änderung nicht sehen, da der Spektrumanalysator bereits mehrere Pulse aufsummiert hat, bevor er etwas anzeigt. (langes FFT-Fenster)
Es beginnt mit einem einzelnen "Rechteck", sein Spektrum ist das der Fourier-Transformation eines Rechtecks?
Ja, tautologisch so.
Dann geht es weiter mit vielen anderen – unendlichen – Rechtecken und man kann sagen, dass es tatsächlich eine periodische Wellenform ist (oder zumindest bis zu diesem Punkt war), ist ihr Spektrum das einer Rechteckwelle?
Ein unendlich langes Signal hat keine Fourier-Transformation, da das Integral nicht endlich ist. Wenn Sie ein Signal messen können, ist es in Wirklichkeit angesichts Ihrer endlichen Lebensdauer nicht wirklich periodisch, und so erhalten Sie die Fourier-Transformation des von Ihnen gemessenen aperiodischen Signals.
Die FFT ist nur eine Korrelation; längere Zeitintervalle ermöglichen eine höhere Auflösung; mehr Wiederholungen ermöglichen eine höhere Auflösung, wie eine andere Antwort erklärte.
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