Wenn ein Signal eine Zwischenharmonische hat, ist das Signal periodisch oder nicht periodisch?

Ich habe einige Fragen zu Zwischenharmonischen. Was ich tun werde, ist, zuerst nur ein paar Fragen zu stellen, und dann, wenn die Leute sie beantworten, würde ich diesen Beitrag erweitern oder eine neue Frage erstellen.

Harmonische sind Sinuskurven, deren Frequenz ein ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz des Originalsignals ist X ( T ) Sie repräsentieren. Zwischenharmonische (oder Zwischenharmonische) sind als Sinuskurven definiert, deren Frequenz kein ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz des Signals ist X ( T ) . Erste Frage: In dieser Definition von Zwischenharmonischen wird das Signal angenommen X ( T ) ist periodisch, oder nicht?¹

Ich meine, ja, wir verwenden Fourier-Reihen normalerweise für periodische Signale, aber ich habe kein einziges Lehrbuch über Mathematik, Schaltungsanalyse, Elektronik oder Signale und Systeme gelesen, in dem es um Zwischenharmonische geht. Der Satz von Fourier spricht niemals von Zwischenharmonischen. Der einzige Ort, an dem ich eine kurze Diskussion über Zwischenharmonische gesehen habe, sind Lehrbücher über Netzqualität und Oberschwingungen. Ich frage mich also, ob Zwischenharmonische überhaupt Sinn machen oder ob das nur ein Begriff ist, der ohne mathematischen Beweis erfunden wurde. Bevor ich also weitere Fragen stelle, würde ich gerne die Antwort auf die erste Frage oben wissen.

Ich habe noch eine Frage. Wie Sie wissen, gibt es verschiedene Möglichkeiten, eine Fourier-Reihe darzustellen. Die eine ist die trigonometrische Form, die andere die Amplituden-Phasen-Form und die andere die komplexe Exponentialform. Schreibt man die Amplituden (d. h. die Maximal- oder Spitzenwerte) der Harmonischen in Form der RMS-Werte, so lautet die Amplituden-Phasen-Form:

X ( T ) = X 0 + 2 ∑ N = 1 ∞ X effektiv, N cos ⁡ ( 2 π N F 0 T + θ N )

Meine zweite Frage ist, ob ein Signal eine Zwischenharmonische der Frequenz hat M F 0 , Wo M eine nicht ganzzahlige positive Zahl ist, summieren wir sie zum vorherigen Ausdruck als neue Sinuskurve 2 X effektiv, M cos ⁡ ( 2 π M F 0 + θ M ) ? Wenn nicht, wie trägt dann die Zwischenharmonische analytisch zum Signal bei? X ( T ) ?

Hinweis ¹: Fourier-Reihen können verwendet werden, um ein periodisches Signal mit einem Ausdruck darzustellen, der für alle Zeiten gültig ist T , oder um ein nicht periodisches Signal in einem Zeitintervall darzustellen Δ T .

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@Transistor Okay, danke für den Vorschlag!
Im Zusammenhang mit Optik: Vierwellenmischung .

Antworten (2)

Nehmen wir an, Sie haben eine Zwischenharmonische von 1,5. Wenn Sie Ihre angenommene Grundfrequenz um 0,5 skalieren, haben Sie zwei ganzzahlige harmonische Sinuskurven, die zum Signal beitragen - eine 2. Harmonische und eine 3. Harmonische. Entspricht natürlich dem Originalsignal - nur eine ganzzahlige Betrachtungsweise.

Erster Fall : Fundamental = f1

X ( T ) = cos ⁡ ( 1 ∗ 2 π F 1 T + θ N ) + cos ⁡ ( 1.5 ∗ 2 π F 1 T + θ M )

Zweiter Fall : Grundwelle = f2 = 0,5f1

X ( T ) = cos ⁡ ( 2 ∗ 2 π F 2 T + θ N ) + cos ⁡ ( 3 ∗ 2 π F 2 T + θ M )

Dies sind äquivalente Signale (und periodisch). Ich habe mich nur dafür entschieden, eine andere Grundfrequenz für meine Analyse anzunehmen, damit ich ganzzahlige Harmonische habe.

Zwischenharmonische sind immer noch Sinuskurven, richtig?
Ja, Herr, das ist richtig.
Danke. Wenn ich nach Ihrer Antwort die Frequenz skaliere, erhalten wir dann nicht ein neues, anderes Signal als das vorherige? Zum Beispiel, wenn ich die Frequenz des Signals skaliere cos ⁡ ( T ) Zu cos ⁡ ( 0,2 T ) , diese beiden Signale sind nicht gleich, oder? (Dies ist nur ein einfaches Beispiel.)
Nicht, wenn Sie es richtig machen, wie ich oben zeige (meine Antwort bearbeitet). Ich ändere nicht die Frequenz jeder Sinuskurve. Ich spiele nur herum und verwende einen anderen Grundton - so dass ich am Ende nur ganzzahlige Harmonische habe.
Dieser Trick der Skalierungsfrequenz war so ordentlich! Ich habe die beiden Signale in Ihrer Antwort in dieser GeoGebra-App überprüft und sie sind tatsächlich gleich. Dies hat jedoch weitere Fragen in meinem Kopf zum Platzen gebracht. Zum Beispiel im ersten Ausdruck von X ( T ) in Ihrer Antwort, wenn wir das annehmen F 1 = 1  Hertz Und θ N = θ M = 0 ° , können Sie in der GeoGebra-App sehen (oder analytisch beweisen), dass die Grundfrequenz von X ( T ) ist eigentlich 1 / ( 2  S ) = 0,5  Hertz , nicht F 1 = 1  Hertz .
Eine weitere Frage, die sich stellte: Angenommen, wir haben ein periodisches Signal X ( T ) mit einer Fourier-Reihe, zusätzlich mit k Zwischenharmonische. Somit ist im Allgemeinen die Anzahl der Terme im Ausdruck for X ( T ) wäre 1 (die DC-Komponente) + ∞ (die Anzahl der Harmonischen) + k (die Anzahl der Zwischenharmonischen). Können Sie garantieren, dass wir einen solchen Ausdruck immer so skalieren können , dass es keine Zwischenharmonischen gibt (dasselbe, was Sie in Ihrem Beispiel getan haben, aber ein allgemeinerer Fall)?
Hallo @AlejandroNava - Sie können die Grundfrequenz als beliebig deklarieren, wenn Sie die Signale erstellen. Wenn wir im ersten Fall f1 = 1 Hz angeben, dann besteht das Signal aus einer Grundkomponente und einer 1,5-harmonischen Komponente. Die Grundwelle, die Sie (richtig) in Ihrem GeoGebra-Plot sehen, ist die "richtige" Grundwelle in Bezug auf die Periodizität der Wellenform. Um es zu finden, finden Sie einfach den GCD aller Frequenzkomponenten.
Zum Beispiel beträgt der GCD im ersten Fall 0,5 Hz, wie Sie aus Ihrer Analyse in GeoGebra erkannt haben. Hier ist eine gute Seite, die zeigt, wie man den ggT (größter gemeinsamer Teiler - auch größter gemeinsamer Teiler genannt) berechnet.
Betreff: "Können Sie garantieren, dass wir einen solchen Ausdruck immer so skalieren können, dass es keine Zwischenharmonischen gibt" - alle analogen Sinuskurven sind periodisch, also ja für sie. Gilt nicht unbedingt für diskrete Sinuskurven - lesen Sie hier für Details. Ich wusste das selbst nicht, bis ich diese Seite gelesen habe. Auch dieser Beitrag kann hilfreich sein.
Ja, die Summe von Sinuskurven, deren Frequenz keine irrationale Zahl ist, ergibt ein periodisches Signal; In diesem Reddit-Beitrag erklärt jemand warum, im Fall der Summe zweier Sinuskurven. Und ja, wir können die Fundamentalperiode oder -frequenz mithilfe des LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches) der Perioden berechnen, wie in dem von Ihnen freigegebenen Dokument oder in diesem Video gezeigt . [Fortsetzung im nächsten Kommentar]
[Nach meinem vorherigen Kommentar] Wenn wir also die DC-Komponente plus die unendlichen Harmonischen plus die Zwischenharmonischen summieren, wäre das Ergebnis ein periodisches Signal (vorausgesetzt, die Frequenz aller Zwischenharmonischen sind keine irrationalen Zahlen.) Aber wie Sie sagten, in In meinem GeoGebra-Beispiel für die von mir gewählten Werte ist die tatsächliche Grundfrequenz (oder Grundperiode) des resultierenden Signals nicht die gleiche wie die der Harmonischen. Ist das nicht ein Widerspruch?
Danke für die Links. Jetzt überprüfe ich Ihren letzten Kommentar, in dem Sie auf meine Frage geantwortet haben: "Können Sie garantieren, dass wir einen solchen Ausdruck immer so skalieren können, dass es keine Zwischenharmonischen gibt?"

Der IEEE -Standard Nr. 519 mit dem Titel „ IEEE Recommended Practices and Requirements for Harmonic Control in Electrical Power Systems“ , Version aus dem Jahr 2014 (das neueste Update), auf Seite 3, definiert eine Zwischenharmonische wie folgt:

Zwischenharmonische (Komponente) : Eine Frequenzkomponente einer periodischen Größe, die kein ganzzahliges Vielfaches der Frequenz ist, mit der das Versorgungssystem arbeitet (z. B. 50 Hz oder 60 Hz).

Wenn also gesagt wird, dass ein Signal Zwischenharmonische hat, muss das Signal periodisch sein, zumindest wenn man die Definition von IEEE verwendet.

Wie relayman in seiner Antwort gezeigt hat, hängt das Vorhandensein von Zwischenharmonischen in einem periodischen Signal davon ab, welche Periode (die Grundperiode oder ein Vielfaches davon) zur Berechnung der Koeffizienten der Fourier-Reihe verwendet wird. Die Fundamentalperiode T 0 eines periodischen Signals ist definiert als der kleinste positive Wert von T das befriedigt X ( T + T ) = X ( T ) für alle T . Wenn wir die Grundperiode verwenden, um die zeitkontinuierliche Fourier-Reihe zu berechnen, sind keine Zwischenharmonischen vorhanden.

Wenn ein Signal eine Zwischenharmonische hat, ist das Signal periodisch oder nicht periodisch?
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