Wenn Zwischenharmonische für periodische Signale definiert sind, sind Zwischenharmonische nicht irreführend?

Bevor ich meine Frage erkläre, gehe ich davon aus, dass 1) Zwischenharmonische genau wie Harmonische Sinuskurven sind; und 2) um die Zwischenharmonischen eines Signals analytisch darzustellen, summieren wir sie zur Fourier-Reihe. Dies wurde in dieser vorherigen Frage besprochen . Wenn eine dieser Annahmen falsch ist, sagen Sie es bitte und teilen Sie vorzugsweise eine zuverlässige Quelle mit. Wenn diese Annahmen wahr sind, können wir ein periodisches Signal ausdrücken$x(t)$unter Verwendung der Amplituden-Phasen-Form der Fourier-Reihe, mit$k$Zwischenharmonischen wie folgt (korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege):

$x(t) = \underbrace{X_0 + \sqrt{2} \displaystyle \sum_{n=1}^\infty X_{\text{rms,} n} \cos{(2 \pi n f_0 t + \theta_n)}}_{\text{DC component and infinite harmonics}} + \underbrace{\sqrt{2} \displaystyle \sum_{q=1}^k X_{\text{rms,} m_q} \cos{(2 \pi m_q f_0 t + \theta_{m_{q}})}}_{k \text{ interharmonics}} \tag 1$

wo all die$m_q$sind nicht ganzzahlige rationale positive Zahlen. (Kurzes Beispiel zur Verdeutlichung der bisherigen Notation: ein Signal hat$k=3$Zwischenharmonische, wo$m_1 = 1.5$,$m_2 = 2.4$,$m_3 = 6.3$.)

Die Summe von Sinuskurven unterschiedlicher Frequenz, deren Frequenzen keine irrationalen Zahlen sind, ergibt jedoch ein periodisches Signal , was bedeutet , dass in Gleichung (1)$x(t)$ist periodisch. Und da das Signal periodisch ist, könnten wir seine Fourier-Reihe unter Berücksichtigung der Zwischenharmonischen berechnen, sodass wir am Ende keine Zwischenharmonischen erhalten (dies wird im folgenden Beispiel veranschaulicht). Mit anderen Worten, in Gleichung (1) sind die Terme I ' als DC-Komponente und unendliche Harmonische bezeichnet haben , sind nicht wirklich die Fourier-Reihe von$x(t)$. Daher ist die Grundfrequenz von$x(t)$ ist nicht $f_0$wie wir von der ersten Summe denken würden; Aus dem gleichen Grund ist die erste Summe nicht wirklich die Harmonik von$x(t)$. Dies ist auch unten dargestellt.

Ein Beispiel

Betrachten Sie ein Sägezahnsignal$v(t)$der Periode$T_0 = 1 \text{ s}$, Frequenz$f_0 = 1/T_0 = 1 \text{ Hz}$, und Amplitude$A = 1 \text{ V}$, das beginnt bei zu steigen$t = 0 \text{ s}$:

$v(t) = \displaystyle \sum_{i=-\infty}^{\infty} v_{1}(t - i T_0) = \displaystyle \sum_{i=-\infty}^{\infty} v_{1}(t - 1i) \tag 2$

Wo

$v_1(t) = \left\{ \begin{aligned} \dfrac{A}{T_0} t &, \, 0 < t < T_0 \\ 0 &, \, \text{otherwise} \end{aligned} \right. = \left\{ \begin{aligned} t &, \, 0 < t < 1 \\ 0 &, \, \text{otherwise} \end{aligned} \right. \tag 3$

Es kann bewiesen werden, dass seine Fourier-Reihe ist:

$v(t) = \dfrac{A}{2} + \dfrac{A}{\pi} \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} \cos{(2 \pi n f_0 t + 90°)} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{\pi} \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} \cos{(2 \pi n 1 t + 90°)} \tag 4$

Offensichtlich ist die Grundfrequenz von$v(t)$in Gleichung (4) ist 1 Hz. Diese GeoGebra-App zeigt sowohl das Originalsignal (in Grün, gegeben durch Gleichungen (2) und (3) ) als auch seine Fourier-Reihen-Näherung (in Rot, gegeben durch Gleichung (4) ). Hier ist ein Screenshot:

So weit, ist es gut. Stellen Sie sich nun vor, dass laut jemandem oder einem Leistungsanalysator ein weiteres periodisches Signal vorliegt$v_3(t)$hat die gleichen Obertöne wie$v(t)$in Gleichung (4) , hat aber auch eine Zwischenharmonische mit einer Frequenz von 1,6 Hz (also$m_1 = (1.6 \text{ Hz})/(1 \text{ Hz}) = 1.6$), Amplitude 1 V und 0° Phasenverschiebung. (Mir ist bewusst, dass reale Leistungsanalysatoren ein zeitkontinuierliches Signal abtasten und nur bis zu einer bestimmten Anzahl von Harmonischen anzeigen, z. B. 50 oder 100, aber ich denke, dies ist in diesem Zusammenhang irrelevant.) Daher gemäß der zweiten Annahme Ich sagte im ersten Absatz, wir können uns ausdrücken$v_3(t)$folgendermaßen:

$\begin{align} v_3(t) &= \dfrac{A}{2} + \dfrac{A}{\pi} \left[ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} \cos{(2 \pi n f_0 t + 90°)} \right] + \cos{(2 \pi 1.6 f_0 t)} \\ &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{\pi} \left[ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} \cos{(2 \pi n 1 t + 90°)} \right] + \cos{(2 \pi 1.6 t)} \tag 5 \end{align}$

oder in Bezug auf$v(t)$,

$v_3(t) = v(t) + \cos{(2 \pi 1.6 t)} \tag 6$

Nun würden wir auf den ersten Blick denken, dass die (Grund-)Frequenz von$v_3(t)$war 1 Hz gemäß den Harmonischen in Gleichung (5) . Aber das ist falsch! In Gleichung (6) gilt seit der (grundlegenden) Periode von$v(t)$ist 1 s, und die Periode von$\cos{(2 \pi 1.6 t)}$1/(1,6 Hz) = 5/8 s ist, ist das Verhältnis dieser Perioden eine rationale Zahl. Somit können wir gemäß diesem Video die (Grund-)Periode berechnen$T_0'$von$v_3(t)$folgendermaßen:

$T_0' = \text{LCM} (1, \frac{5}{8}) = \dfrac{\text{LCM} (1, 5)}{\text{GCD} (1, 8)} = \dfrac{5}{1} = 5 \text{ s} \tag*{}$

Der folgende Screenshot beweist dies, entnommen aus dieser GeoGebra-App , wo$v(t)$ist grün dargestellt (gegeben durch Gleichungen (2) und (3) ),$\cos{(2 \pi 1.6 t)}$in Orange und$v_3(t)$in lila (gegeben durch Gleichung (6) .)

Daher sind die Harmonischen von$v_3(t)$ sind eigentlich nicht die in Gleichung (5) gegebenen , weil die Grundfrequenz von$v_3(t)$ist nicht 1 Hz, sondern stattdessen$f_0' = 1/T_0' = 1/(5 \text{ s}) = 0.2 \text{ Hz}$. Um die tatsächlichen Harmonischen von zu finden$v_3(t)$, können wir Gleichung (6) verwenden und ersetzen$v(t)$durch die Gleichungen (2) und (3) . Jetzt finden wir die Fourier-Koeffizienten dieses Ausdrucks. Nach etwas Mathematik wäre das Ergebnis

$v_3(t) = \dfrac{1}{2} + \cos{\left(2 \pi 1.6 t \right)} - \dfrac{1}{\pi} \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1 + \cos{(\frac{2 \pi n}{5})} + \cos{(\frac{4 \pi n}{5})} + \cos{(\frac{6 \pi n}{5})} + \cos{(\frac{8 \pi n}{5})}}{n} \sin{\left(\dfrac{2 \pi n}{5} t \right)} \tag 7$

Das folgende Bild beweist den vorherigen Ausdruck, wo das ursprüngliche Signal$v_3(t)$ist blau dargestellt (gegeben durch Gleichungen (6) , (2) und (3) ) und seine Fourier-Reihen-Approximation in gelb (gegeben durch Gleichung (7) ):

Während beide Gleichungen (5) und (7) korrekt darstellen$v_3(t)$, ersteres ist aus den Gründen, die ich im vorigen Absatz erläutert habe, irreführend. Beachten Sie auch, dachten wir anfangs$v_3(t)$hatte gemäß Gleichung (5) eine Zwischenharmonische von 1,6 Hz , jedoch gibt es in Gleichung (7) keine Zwischenharmonischen. Wenn also die im ersten Absatz genannten Annahmen wahr sind, dann sind Zwischenharmonische irreführend (wenn Sie anderer Meinung sind, erklären Sie bitte warum). Und das lässt mich fragen, warum sie überhaupt von IEEE und IEC definiert werden.