Frequenzchirp, Momentanfrequenz und Photonen

Ich frage mich, ob dies ein Fall ist, in dem Sie eine physikalische Intuition über Photonen haben, die nicht ganz funktioniert.

Wenn wir sagen, dass „ein Photon“ eine Frequenz hat$\omega$(und Energie$\hbar \omega$), dann sagen wir, dass sich der Begriff "ein Photon" auf eine Anregung der Moden des elektromagnetischen Feldes bezieht, so dass Moden bei Frequenz$\omega$sind in einer Überlagerung beliebiger Richtungen und Polarisationen in einem Eigenzustand des Photonenzahloperators ($\hat{a}_\omega^\dagger \hat{a}_\omega$) mit Eigenwert gleich 1. Der Punkt für Ihre Frage ist, dass, wenn der betrachtete Modus wirklich monochromatisch ist, er eine unendliche Ausdehnung im Raum hat. Genau wie eine monochromatische klassische Welle kann sie nicht an einem Ort lokalisiert werden. Jedes Photon ist also sehr weit gestreut: unendlich weit.

Bei einem gechirpten Laserpuls haben Sie eine Ansammlung von Photonen, dh Modenanregungen, und in dem Maße, in dem Sie jeden Mode als monochromatisch betrachten, müssen Sie im gleichen Maße zulassen, dass ein solcher Mode zeitlich und damit räumlich ausgedehnt werden muss Also. Die Moden überlappen sich alle, und alle sind zu jedem Zeitpunkt im Impuls vorhanden. In dieser Hinsicht ist es genau wie die Fourier-Analyse eines Chirp-Pulses einer klassischen Welle. Photonen aller Frequenzen sind also jederzeit vorhanden (wenn Sie darauf bestehen, jedem Photon eine genaue Frequenz zuzuordnen).

Wenn Sie möchten, können Sie das Feld anders analysieren und es durch eine Wavelet-Transformation anstelle einer Fourier-Transformation ausdrücken. Dann möchten Sie vielleicht den Begriff „ein Photon“ für jedes Wavelet verwenden. Solche Photonen wären nicht monochromatisch, und jetzt wären sie nicht immer alle vorhanden.

Ich hoffe das hilft. Wenn ich das Problem falsch verstanden habe, dann entschuldige das.

Ein kürzlich veröffentlichter Beitrag löst explizit ein Modell eines masselosen skalaren Quantenfelds (ein Proxy für das Quanten-EM-Feld), das von einem klassischen Strom angetrieben wird. Der Strom ist eine willkürliche Funktion von Zeit und Raum, außer dass er auf ein endliches Zeitintervall begrenzt ist, sodass die Lösung als Sonderfall Wellenformen mit zeitveränderlicher Frequenz enthält. Die folgenden Schlussfolgerungen basieren auf dieser Lösung, und einige Highlights aus der Mathematik werden am Ende skizziert. Die hier beschriebenen Schlussfolgerungen stimmen mit den früheren Antworten von Andrew Steane und S. McGrew überein .

Ich werde Einheiten verwenden, in denen die Lichtgeschwindigkeit und die Plancksche Konstante gleich sind$1$.

...in meiner intuitiven mentalen Repräsentation dieses Phänomens wird der Puls aus vielen verschiedenen Photonen zusammengesetzt sein...

Ja. Dieser Teil ist richtig, mit der Einschränkung, dass der Puls genauer als eine Quantenüberlagerung einer unterschiedlichen Anzahl von Photonen beschrieben werden kann. Dieser Kommentar geht wie alle folgenden Kommentare davon aus, dass das oben zitierte einfache Modell ein angemessenes Modell für alle lichterzeugenden Geräte ist, von denen in der Frage ausgegangen wird.

...der Puls wird aus vielen verschiedenen Photonen zusammengesetzt sein, jedes mit einer Frequenz, die zum Spektrum gehört...

Genauer gesagt überspannt jedes einzelne Photon alle zum Spektrum gehörenden Frequenzen. Ein einzelnes Photon kann sich in einer Quantenüberlagerung vieler verschiedener Wellenzahlen befinden$\mathbf{p}$, und damit in einer Quantenüberlagerung vieler verschiedener Frequenzen$\omega=|\mathbf{p}|$. Jedes Photon hat das gleiche "Profil" im Wellenzahlbereich (auch Impulsbereich genannt), und die spezielle Überlagerung unterschiedlicher Zahlen dieser identischen Photonen macht den im Wesentlichen klassischen Charakter des Pulses aus. Dies wird unten quantifiziert.

... die Anzahl der Photonen bei dieser Frequenz ist proportional zur Intensität dieser Spektralkomponente.

Dies kann eine korrekte Aussage sein, wenn sie sorgfältig interpretiert wird. Die Anzahl von Photonen , die bei einer gegebenen Frequenz unter Verwendung eines frequenzselektiven Detektors nachgewiesen werden , ist proportional zur Intensität dieser Spektralkomponente. Vor der Detektion überspannt jedes einzelne Photon eine große Bandbreite. Dies ist analog zu der Aussage, dass bei einem Doppelspaltexperiment jedes einzelne Photon durch beide Spalte geht, obwohl ein einzelnes Photon nur an einem der Spalte detektiert wird, wenn Detektoren innerhalb der Spalte platziert werden.

Natürlich impliziert die einfache Tatsache, dass reale Detektoren im Raum lokalisiert und über ein endliches Zeitintervall effektiv "integriert" werden müssen, dass der Detektor selbst verschiedene Frequenzen nur bis zu einer gewissen endlichen Auflösung unterscheiden kann. Diese Einschränkung ist bereits in der klassischen Physik vorhanden, und sie ist immer noch im Quantenbild vorhanden.

... wenn der Puls gechirpt wird, haben wir Regionen des Pulses (sowohl zeitlich als auch räumlich), in denen Photonen mit einer bestimmten Frequenz mehr vorhanden sind (mit höherer Wahrscheinlichkeit gemessen werden?) als Photonen mit einer anderen ...

Wie oben erklärt, kann diese Aussage genau gemacht werden, indem man sie leicht modifiziert, wie folgt: „Wenn der Puls gechirpt wird, haben wir Bereiche des Pulses (sowohl zeitlich als auch räumlich), in denen ein frequenzselektiver Photonenzähler Photonen würde registrieren bei manchen Frequenzen mehr Photonen als bei anderen."

Gibt es eine Möglichkeit, eine intuitive Quantenbeschreibung zu erhalten, die mit der klassischen kohärent ist?

Ja. Dies ist Gegenstand der unten gezeigten Highlights aus der genauen Lösung im zuvor zitierten Beitrag.

Das zweite Problem ergibt sich aus dem Konzept der Momentanfrequenz ...

Da ein einzelnes Photon keine individuelle Frequenz hat, ist der Begriff „Momentanfrequenz“ nicht mehr (und nicht weniger) problematisch als im klassischen Bild. Ein einzelnes Photon hat ein zeitabhängiges Profil, ähnlich wie eine klassische Welle; und tatsächlich können die Eigenschaften der klassischen Welle alle aus den Eigenschaften eines einzelnen Photons wiederhergestellt werden , mit dem Verständnis, dass die im Wesentlichen klassische Welle viele identische Kopien dieses Photons beinhaltet. Dies wird unten quantifiziert.

Photonen mit einer bestimmten Frequenz in einem Chirp-Puls werden somit mit höherer Wahrscheinlichkeit in dem Abschnitt des Pulses gemessen, in dem ihre Frequenz der momentanen Frequenz entspricht.

Auch hier gelten wieder die bereits oben gemachten Ausführungen. Das Konzept von Photonen bei einer bestimmten Frequenz ist nicht wirklich genau, genauso wie es nicht genau ist, eine klassische Chirp-Wellenform (sagen wir) als bei einer bestimmten Frequenz zu beschreiben. Mit einigen Vorbehalten kann dies jedoch in eine genaue Aussage umgewandelt werden. Einige dieser Vorbehalte werden nach dem nächsten Auszug beschrieben ...

Welche physikalische Bedeutung hat die Momentanfrequenz? Wie hängt das Konzept der Trägerfrequenz mit dieser intuitiven Quantendarstellung zusammen?

Nachdem im Folgenden die Beziehung zwischen dem klassischen und dem Quantenbild betrachtet wird, werden diese Fragen implizit beantwortet: Die Konzepte der Momentanfrequenz und der Trägerfrequenz gelten genauso gut für jedes einzelne Photon wie für den gesamten im Wesentlichen klassischen Puls, mit dem Verständnis dass jede Anwendung von Messungen nur eines der möglichen Ergebnisse erzeugen kann, die durch diese bestimmte Messung definiert sind. Wenn wir eine Messung anwenden, die nach der Frequenz des Photons fragt, erhalten wir als Antwort eine gewisse Frequenz. Das bedeutet nicht , dass das Photon vor der Messung auf diese Frequenz beschränkt war; wir wissen das aufgrund von Experimenten wie denen, die in einem anderen Beitrag beschrieben wurden .

Selbst für eine klassische Welle muss das Konzept der "Momentanfrequenz" sorgfältig definiert werden. Für eine mathematisch idealisierte Definition könnten wir die klassische Wellenfunktion in ihre Teile mit positiver und negativer Frequenz (definiert unter Verwendung einer Hilbert-Transformation) aufteilen und dann die "Momentanfrequenz" als die zeitliche Ableitung der Phase von einer der beiden definieren diese beiden komplexwertigen Teile. Eine praktischere Definition basiert auf der Tatsache, dass jeder echte frequenzselektive Photonenzähler eine gewisse endliche Größe haben und über ein gewisses endliches Zeitintervall effektiv integrieren wird. In Anbetracht dessen können wir die „Momentanfrequenz“ praktischer als einen König der Durchschnittsfrequenz in dieser Region des Raums während dieses Zeitintervalls definieren. Mit dieser (losen) Definition

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Um die Beziehung zwischen den klassischen und Quantenbildern genauer zu beschreiben, hier einige Highlights aus dem oben zitierten Beitrag ( https://physics.stackexchange.com/a/443761 ).

Die genaue Lösung in dem zitierten Beitrag zeigt, dass nach dem Abschalten des Stroms der resultierende Quantenzustand des Felds der kohärente Zustand ist

$$\begin{align} |\psi\rangle &\propto \sum_{n\geq 0} \frac{\big(A^\dagger \big)^n}{n!}\,|T\rangle \\ &= |T\rangle + A^\dagger|T\rangle + \frac{1}{2!}\big(A^\dagger \big)^2|T\rangle + \frac{1}{3!}\big(A^\dagger \big)^3|T\rangle +\cdots \tag{1} \end{align}$$ Wo$|T\rangle$stellt zeitweise den Vakuumzustand dar$t>T$nach dem Strom$J$ist ausgeschaltet. Jede Anwendung des Betreibers $$\begin{equation} A^\dagger \equiv \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ a_J(\mathbf{p}) a^\dagger(\mathbf{p}) \tag{2} \end{equation}$$ in den Vakuumzustand erzeugt ein einzelnes Photon, dessen "Profil" durch die komplexwertige Funktion beschrieben wird$a_J(\mathbf{p})$, weil jede Anwendung des Operators$a^\dagger(\mathbf{p})$in den Vakuumzustand erzeugt ein einzelnes Photon mit Wellenzahl (oder Impuls)$\mathbf{p}$. Also zum Beispiel der Staat$A^\dagger|T\rangle$hat ein einzelnes Photon mit Profil$a_J(\mathbf{p})$, und der Staat $$\big(A^\dagger \big)^n|T\rangle \tag{3}$$ hat$n$identische Photonen mit demselben Profil. Der kohärente Zustand (1) ist eine Quantenüberlagerung verschiedener Photonenzahlen, alle mit demselben Profil. Der Erstellungsoperator $a^\dagger(\mathbf{p})$ist der Adjoint des Vernichtungsoperators $a(\mathbf{p})$. Jede Anwendung des Vernichtungsoperators entfernt ein Photon (mit der angegebenen$\mathbf{p}$) aus dem Zustand, und wenn kein solches Photon vorhanden ist, ist das Ergebnis Null. (Keine Nullphotonen, sondern einfach nur Null , was bedeutet, dass dieser Begriff überhaupt nicht mehr zur gesamten Quantenüberlagerung beiträgt.)

Um das Photonenbild mit dem klassischen Wellenbild in Beziehung zu setzen, können wir die Feldamplitudenobservable verwenden$\phi(t,\mathbf{x})$, deren Beziehung zu den Erstellungs-/Vernichtungsoperatoren in dem anderen Beitrag gezeigt wird. Der Erwartungswert dieser Observablen im Zustand (1) ist

$$\begin{equation} \langle \psi|\phi(t,\mathbf{x})|\psi\rangle=\phi_J(t,\mathbf{x}), \tag{4} \end{equation}$$ wobei die reellwertige Funktion$\phi_J(t,\mathbf{x})$bezieht sich auf$a_J(\mathbf{p})$von $$\begin{equation} \phi_J(t,\mathbf{x}) =\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}\, \frac{e^{-i\omega t}a_J(\mathbf{p}) +e^{i\omega t}a_J^\dagger(-\mathbf{p})}{ \sqrt{2\omega}} \tag{5} \end{equation}$$ mit$\omega\equiv |\mathbf{p}|$. Wie in dem anderen Beitrag erklärt, wenn die Größenordnung von$a_J$groß genug ist, dann beschreibt der Zustand (1) eine quasi-klassische Welle mit zeitveränderlicher Amplitude, die durch die Funktion gegeben ist$\phi_J(t,\mathbf{x})$.

Gleichung (5) gibt eine explizite Beziehung zwischen der effektiv klassischen Welle an$\phi_J(t,\mathbf{x})$und das Einzelphotonenprofil$a_J(\mathbf{p})$in Gleichung (2). Um dies mit dem Verhalten eines lokalisierten, frequenzselektiven Photonenzählgeräts in Beziehung zu setzen, müssen wir eine Observable konstruieren, die einem solchen Gerät entspricht. Eine Möglichkeit, dies zu tun, ist zu lassen$\phi^+(t,\mathbf{x})$bezeichnen den beobachtbaren Teil der Feldamplitude$\phi(t,\mathbf{x})$das betrifft nur die Erstellungsoperatoren$a^\dagger(\mathbf{p})$, und zu lassen$\phi^-(t,\mathbf{x})$bezeichnen den beobachtbaren Teil der Feldamplitude$\phi(t,\mathbf{x})$das betrifft nur die Vernichtungsoperatoren$a(\mathbf{p})$. Dann können wir einen Operator des Formulars verwenden

$$\begin{equation} D(t) = \int d^3x\,d^3y\ f(\mathbf{x},\mathbf{y}) \phi^+(t,\mathbf{x})\phi^-(t,\mathbf{y}) \tag{6} \end{equation}$$ als Observable, die einem quasi lokalisierten Photonenzähler entspricht. Es hängt von der Zeit ab$t$weil diese Formulierung das Heisenberg-Bild verwendet, wo alle Zeitabhängigkeit eher von den Observablen als vom Zustandsvektor getragen wird. Die Funktion$f$kann eingestellt werden, um auszuwählen, wo sich der Zähler befindet und für welchen Bereich von Wellenzahlen er empfindlich ist.

Ich sagte „ quasi -lokalisiert“, weil die Feldamplitude observable ist$\phi(t,\mathbf{x})$Per Definition sind die Operatoren lokalisiert$\phi^\pm(t,\mathbf{x})$sind nicht streng lokalisiert: Sie kommutieren nicht mit den Feldamplitudenoperatoren bei raumartiger Trennung. Als Ergebnis repräsentiert der Operator (6) einen quasi lokalisierten Photonenzähler. Ein Operator, der innerhalb eines endlichen Bereichs des Raums streng lokalisiert ist, kann den Vakuumzustand nicht vernichten ( Theorem von Reeh-Schlieder ), daher kann ein streng lokalisierter Photonenzähler nicht rauschfrei sein. Der durch (6) dargestellte Photonenzähler ist rauschfrei, aber nicht streng lokalisiert.

Die im Hauptteil der Antwort verbal ausgedrückten Schlussfolgerungen basieren alle auf dieser mathematischen Formulierung.

Ein sehr kurzer Laserpuls (dh ein Femtosekundenpuls) hat ein Kontinuum von Frequenzen (ein Spektrum), unabhängig davon, wie viele Photonen er enthält. Dämpfen Sie den Puls auf nur ein Photon pro Puls, und das Photon verhält sich (bis es erkannt wird) so, als ob es das volle Spektrum des ungedämpften Pulses hätte. Dies ist unabhängig von etwaigen nichtlinearen Effekten, die auf die Ausbreitung des Impulses durch ein Medium zurückzuführen sein können.

Misst man die Frequenz eines solchen Photons – etwa indem man den Laserpuls durch ein Prisma schickt und den Austrittswinkel misst – ergibt die Messung natürlich nur eine einzige Frequenz, genauso wie die Einzelphotonen-Interferometrie nur einen Ort oder Pfad pro liefert Photon. Aber bis zur Messung der Frequenz des Photons umfasst das Wellenpaket des Photons das gesamte Frequenzspektrum des Pulses. Die etablierten Techniken der kohärenten Pulsformung können hierauf Aufschluss geben.