Führen identische Ausgangsbedingungen immer zu identischen Ergebnissen?

Es gibt mehrere Ebenen, also habe ich Spaß daran, sie aufzudecken.

Die erste Schicht ist einfache Netwonische Mechanik. Wenn wir davon ausgehen, dass die Netwonische Mechanik gilt und dass das Universum nur aus dieser Kiste und ihrem Inhalt besteht und der Inhalt der Kiste jedes Mal genau gleich aufgebaut ist, dann sind die resultierenden Positionen der Kugeln im Laufe der Zeit deterministisch. Es wird jedes Mal genau dasselbe sein.

Es wird jedoch interessanter. Die Newtonsche Mechanik kann chaotisch sein . Ein chaotisches System reagiert empfindlich auf Anfangsbedingungen. Eine leichte Störung des Setups kann zu drastisch unterschiedlichen Ergebnissen führen. Vielleicht haben Sie eine der Kugeln an der falschen Stelle platziert: um 0,5 mm versetzt. Dies kann dazu führen, dass die Kollisionen unterschiedlich auftreten und zu drastisch unterschiedlichen Ergebnissen führen. Ein klassisches Beispiel hierfür ist das Doppelpendel . In vielen Regionen ist seine Bewegung sehr empfindlich gegenüber Anfangsbedingungen. In diesem Sinne ist die Box unberechenbar , aber deterministisch. Es gibt nur eine Möglichkeit, wie sich die Kugeln bewegen können, aber es ist unmöglich, sie vorherzusagen, weil eine genaue Vorhersage unendlich präzise Messungen erfordern würde, und wir haben keine Möglichkeit, solche Dinge zu messen.

Das bringt uns zur Erweiterung unseres Universums. Bis zu diesem Punkt haben wir nur ein Universum betrachtet, das diese Kiste und nur diese Kiste enthält. Aber es gibt äußere Einflüsse auf Boxen in der realen Welt. Beispielsweise wirken Gravitationskräfte. Buchstäblich gesprochen könnte die Position von Jupiter die Position dieser herumkollidierenden Kugeln beeinflussen, indem sie die Geschwindigkeiten der Kugeln subtil verändert.

Natürlich klingt das, was ich gerade gesagt habe, nach Astrologie, also sollte ich mich etwas zurücknehmen. In praktischen Szenarien wird Jupiter die Ergebnisse nicht merklich beeinflussen. In einem wirklich chaotischen System sind alle Eingaben wichtig, aber in unserer praktischen Box werden Kräfte wie Reibung das System letztendlich sehr vorhersehbar machen. Sie müssen nicht zu einer Wahrsagerin gehen, um die Ausrichtung der Planeten herauszufinden, bevor Sie dieses Experiment im wirklichen Leben durchführen!

Aber wir sind gut darin, Experimente durchzuführen, die diesen idealen chaotischen Umgebungen immer näher kommen. Wir können uns also fragen, was passiert, wenn wir das auf die Spitze treiben. Was passiert, wenn wir ein Experiment so verfeinern, dass Jupiter eine Wirkung hat ? Nun, wir sehen auch andere Effekte: Quanteneffekte. Quanteneffekte stören das Setup, genauso wie das Versäumnis, alle Kugeln perfekt aufzustellen oder die Gravitationseffekte von Jupiter zu berücksichtigen. Diese Effekte sind winzig , sodass Sie sie in keiner praktischen Situation bemerken werden. Sie sind jedoch da. Und das Interessante an ihnen ist, dass sie nach unserem besten Wissen wirklich zufällig sind. Wir kennen keine Möglichkeit, die Auswirkungen von Quantenwechselwirkungen auf Teilchenebene vorherzusagen. Soweit wir das beurteilen können, sind ihre Auswirkungen wirklich nicht deterministisch, und daher ist auch Ihre Box nicht deterministisch.

Aber, um einen Schritt zurückzugehen, wenn Sie sich die Gesamtsumme von vielen Billionen von Quantenwechselwirkungen ansehen, die jede Sekunde stattfinden, sind die Ergebnisse statistisch vorhersagbar. Wenn Sie die Gesetze der Quantenmechanik nehmen und sie auf unglaublich große nicht kohärente Körper (wie eine Billardkugel oder eine Kiste) anwenden, stellen Sie fest, dass sich die Gleichungen (mehr oder weniger) zur Newtonschen Mechanik vereinfachen. Wenn Sie also Ihre Box und Bälle nicht sorgfältig mit der ausdrücklichen Absicht herstellen, die nichtdeterministischen Effekte der Quantenmechanik zu erkennen, werden Sie feststellen, dass sich die Bälle sehr deterministisch verhalten (obwohl sie, wenn Sie ein chaotisches System aufbauen, möglicherweise immer noch nicht vorhersagbar sind).

In der Newtonschen Mechanik gibt es keinen Zufall mehr, sobald Sie alle Anfangsdaten kennen. In der Tat lassen$M$sei der Phasenraum eines klassischen Systems. Die Punkte von$M$sind Paare$(q,p)$von Koordinaten und Impulsen.

Die Zeitentwicklung des Systems wird durch gewöhnliche Differentialgleichungen weiter beschrieben$M$, und sobald Sie die Anfangsbedingungen kennen, erhalten Sie nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Lösungen von ODEs das Ergebnis, dass es einen einzigen Pfad im Phasenraum gibt, der der zeitlich parametrisierten Folge von Zuständen entspricht, mit anderen Worten, eine einzige Assoziation

Das Problem ist, dass das Problem extrem schwer zu lösen ist, wenn das System eine große Anzahl von Partikeln enthält. Aus diesem Grund studiert man solche Systeme mit Statistischer Mechanik und fängt dann an, sich mit Mitteln und so weiter zu beschäftigen. Aber wenn Sie alle Anfangsdaten kennen und die Gleichungen der Klassischen Mechanik lösen könnten (Existenz ist garantiert, aber es könnte wie gesagt sehr schwierig sein), gibt es einen einzigartigen Evolutionspfad ohne jeglichen Zufall.

EDIT: Lassen Sie uns das aus einer anderen Perspektive angehen. In der Quantenmechanik wird ein System durch einen Zustandsraum beschrieben$\mathcal{H}$, was mathematisch ein Hilbert-Raum ist. Die Elemente von$\mathcal{H}$sind Vektoren, die Zustandsvektoren genannt werden, die wir wie bezeichnet haben$|\varphi\rangle$. Es stellt sich heraus, dass Sie, wenn Sie den Zustand des Systems kennen, also wissen, welcher Zustandsvektor ihn beschreibt, immer noch nicht alle Informationen über das System haben.

Ein Beispiel: Betrachten Sie ein einzelnes Teilchen mit Spin$1/2$. Die Drehung kann entweder nach oben oder nach unten erfolgen. Wenn der Spin des Teilchens oben ist, ist der Zustand des Systems$|\uparrow\rangle$und wenn es unten ist, ist der Zustand$|\downarrow\rangle$. Diese Zustände sind einfach zu verstehen, aber das ist noch nicht alles. Der allgemeinste Zustand ist$|\varphi\rangle = a |\uparrow\rangle + b |\downarrow\rangle$und in diesem Zustand kann man nur sagen, dass es eine Wahrscheinlichkeit gibt$|a|^2$dass, wenn der Spin gemessen wird, es oben und sein wird$|b|^2$dass, wenn der Spin gemessen wird, er unten sein wird.

Und das ist noch nicht alles. Auch im Staat$|\uparrow\rangle$du kannst das nicht wissen$x$und$y$Bestandteile des Spins. Sie kennen nur die$z$Komponente ist$1/2$. Alles, was Sie bekommen können, sind Wahrscheinlichkeiten.

Also im QM, selbst wenn Sie den Staat kennen, wissen Sie nicht alles. Es gibt Zufälligkeit, die Teil der Theorie ist.

Trotzdem ist die Evolution deterministisch . Ausgehend von einem Anfangszustand gibt es genau eine Evolution. Aber das ist nicht der Punkt. Das System wird sich zu einem anderen Zustand wie diesen entwickeln, den ich beispielhaft dargestellt habe, und in diesem Zustand wird es unzugängliche Informationen über das System geben. Auch hier garantiert die deterministische Evolution, dass Sie einen Anfangszustand auf einzigartige Weise entwickeln können, aber selbst wenn Sie den Zustand kennen, können Sie nicht alles wissen.

Klassische Mechanik ist nicht so. In einem klassischen System können Sie sowohl Ort als auch Impuls in jedem Zustand genau kennen. Jede Observable ist eine Funktion von Ort und Impuls, daher kennen Sie jede physikalische Größe, wenn Sie den Zustand kennen. Zusammen mit der Tatsache, dass die zeitliche Entwicklung einzigartig ist, weißt du alles, wenn du den Anfangszustand kennst.

Auch hier müssen Sie genau wissen: (i) die Anfangsbedingungen, (ii) die Lösung der Bewegungsgleichungen. Es ist garantiert, dass es existiert, nicht garantiert, dass es leicht zu erkennen ist.

Ich möchte etwas hervorheben, das in den anderen Antworten impliziert, aber nicht ausdrücklich gesagt wird:

Ihr Problem ist nicht so klar definiert, wie Sie vielleicht denken.

Wieso den?

• Wenn sich Ihre Frage auf das wirkliche Leben bezieht, dann macht das Problem keinen Sinn, da eine absolut genaue Messung unmöglich ist: Sie können nie wirklich wissen, ob sich die Kugeln in denselben Positionen wie im vorherigen Experiment befinden oder ob sie sich auf dieselbe Weise verhalten haben . Es sei denn, Ihre Frage ist statistisch, aber dann müssten Sie, wie oben erwähnt, Ihr Problem genauer definieren (z. B. Toleranzen für Messungen; aber dann kennen wir, wie von Cort Ammon erwähnt, chaotische Systeme, was bedeutet, dass Sie dies nicht können eine bestimmte Genauigkeit für den Anfangszustand vorschreiben und erwarten, dass das Ergebnis innerhalb der gleichen Genauigkeit liegt).

• Wenn sich die Frage auf Physik bezieht, stellen Sie sie in einen theoretischen Rahmen, und jede hat ihre eigene Antwort (in der Newtonschen Mechanik wäre die Antwort ja, in der Quantenmechanik wäre die Antwort nein). Um die Theorie mit dem wirklichen Leben zu korrelieren, müssten Sie experimentieren, und dann kehren Sie zum ersten Punkt zurück.

Für Ihr gegebenes Beispiel wären die Ergebnisse im "idealen" Fall deterministisch. Wo es jedoch scheitert, ist die Tatsache, dass wir den Bällen in einer Box nicht die "gleiche Position und Geschwindigkeit" der entsprechenden Bälle in der anderen Box geben können - außer bis zu einem gewissen Grad an Genauigkeit! Mit einer ausreichend langen Zeit führen sogar die kleinen Unterschiede in der Ausgangsposition und den Geschwindigkeiten schließlich dazu, dass sich die entsprechenden Bälle in unterschiedlichen Zuständen befinden.

Die Quantenmechanik gibt die Messung des Zustands zurück, den Sie zu erreichen versucht haben, und führt zu Ergebnissen, die Sie aufgrund der geringen Messabweichung und dessen, was es tatsächlich ist, dh Kopenhagen usw., nicht vollständig messen können, wenn Sie diese Messungen in ein nichtlineares Modell werfen Es würde sich stark von der Realität unterscheiden, ein System wie ein Pendel, die Varianz wäre nicht so signifikant, aber dennoch messbar anders, und sein Verhalten ist als Funktion einer Differentialgleichung absolut bestimmt. Die Welt ist ein verrückter Ort und unser Modell, das wir jetzt haben, sollte bestimmend sein, ob wir einen Zustand hineinwerfen, aber im Prinzip ist dies physikalisch nicht möglich, es sei denn, Ihr Laplace.