Gain-Margin und Phase-Margin Physikalische Bedeutung

Verstärkung und Phasenreserve werden normalerweise auf Systeme angewendet, bei denen es sich um Verstärker mit negativer Rückkopplung um sie herum handelt. Je negativer das Feedback ist, desto strenger wird das System kontrolliert. Sie möchten jedoch kein Feedback so geben, dass das System schwingt. Die Verstärkung und der Phasenabstand sind zwei Metriken, die Ihnen sagen, wie nahe das System an einer Oszillation (Instabilität) ist.

Ein System mit Over-Unity-Verstärkung oszilliert mit positiver Rückkopplung. Normalerweise besteht die Absicht darin, ein System durch negatives Feedback zu stabilisieren. Wenn dies jedoch um 180° phasenverschoben ist, wird es zu einer positiven Rückkopplung und das System schwingt. Dies kann aufgrund verschiedener Eigenschaften des Systems selbst oder aufgrund dessen geschehen, was mit dem Rückkopplungssignal passiert.

Beachten Sie die beiden Kriterien für Oszillation: eine Verstärkung größer als 1 und eine positive Rückkopplung. Da wir normalerweise versuchen, negatives Feedback zu liefern, stellen wir uns positives Feedback als das vor, was passiert, wenn es eine 180°-Phasenverschiebung in der Schleife gibt. Dies gibt uns daher zwei Metriken, um zu entscheiden, wie nahe das System an einer Schwingung ist. Dies sind die Phasenverschiebung bei Eins-Verstärkung und die Verstärkung bei 180°-Phasenverschiebung. Der erste sollte besser unter 180° liegen und der zweite sollte besser unter 1 liegen. Das Ausmaß, in dem sie kleiner als 180° und kleiner als 1 sind, gibt an, wie viel Platz oder Spielraum vorhanden ist. 180° minus der tatsächlichen Phasenverschiebung bei Einheitsverstärkung ist die Phasenspanne , und 1 geteilt durch die Verstärkung bei 180° Phasenverschiebung ist die Verstärkungsspanne .

Da das Hauptproblem normalerweise darin besteht, dass sich die Gesamtphase und die Verstärkungsänderung als Funktion der Frequenz ändern, werden Schleifenverstärkung und Phasenverschiebung häufig als Funktion von Log (Frequenz) dargestellt. Die Verstärkungskurve ist dann im Grunde ein Bode-Diagramm. Sie müssen die beiden Kurven genau untersuchen, um zu sehen, dass das System von der Kombination von Eigenschaften fernbleibt, die es zum Schwingen bringen. Wenn dies der Hauptpunkt ist, zeigt Ihnen ein sogenanntes Stabilitätsdiagramm direkter, wie nahe das System an einer Instabilität ist und an welchem ​​Betriebspunkt. Diese engste Annäherung an die Instabilität wird als Stabilitätsmarge bezeichnet .

Darf ich kurz eine vierte Antwort hinzufügen?

1.) Eine Schaltung mit Rückkopplung ist instabil, falls die Schleifenverstärkung eine Phasenverschiebung von 360 Grad bei einer Frequenz aufweist, bei der die Größe der Schleifenverstärkung noch größer als 0 dB ist. Beachten Sie, dass diese Phasenverschiebung die invertierenden Eigenschaften des invertierenden Anschlusses beinhaltet. Wird diese Phaseninversion NICHT berücksichtigt (wie dies normalerweise im Nyquist-Diagramm geschieht), reduziert sich das Kriterium für die Instabilität bezüglich der Phase auf -180 Grad Phasenverschiebung der Schleifenverstärkungsfunktion. Dies erklärt den Fall einer positiven Rückkopplung (360 Grad), da wir Eingangsphase = Ausgangsphase haben (was kritisch ist, wenn die Schleifenverstärkung unter dieser Bedingung größer als Eins ist).

Beachten Sie, dass im Fall, dass die Stabilitätsprüfung mit einem Simulationsprogramm durchgeführt wird, die zusätzlichen 180 Grad. Phase ist normalerweise enthalten - vorausgesetzt, dass die Schleifenverstärkung korrekt bestimmt wird (was manchmal etwas kompliziert ist). In diesem Fall muss die Schleifenphase bei -180 Grad beginnen (bei niedrigen Frequenzen) - und beide Ränder beziehen sich auf die Frequenz, bei der die Schleifenphase -360 Grad beträgt.

2.) Interpretation (zum guten Verständnis): Phasenreserve PM ist die zusätzliche Schleifenphase, die nötig wäre, um den Regelkreis an die Stabilitätsgrenze zu bringen. Die Verstärkungsspanne ist die zusätzliche Schleifenverstärkung, die erforderlich wäre, um die geschlossene Schleife instabil zu machen.

3.) UPDATE/EDIT : „ Bitte korrigieren, wenn ich im Laufe der Frage irgendwo einen konzeptionellen Fehler gemacht habe. “

Ja - Sie haben einen schwerwiegenden "konzeptionellen Fehler" gemacht, indem Sie immer von "Systemphase und Gewinn" gesprochen haben. Normalerweise verwenden wir den Begriff „System“ für ein funktionierendes System – das bedeutet: Closed-Loop. Die Stabilitätsgrenzen (PM und GM) werden jedoch für den LOOP GAIN definiert. Daher müssen Sie zur Bestimmung der Spannen die Schleife an geeigneter Stelle öffnen und ein Testsignal einspeisen, um die Verstärkung und den Phasengang der Open-Loop-Schaltung zu ermitteln.

Die Leute neigen dazu, dies viel zu kompliziert und schwer verständlich zu machen. Stabilitätsgrenzen werden nur für ein ideales, lineares Übertragungsfunktionsmodell definiert – ein Modell, das als rationale Funktion von Polynomen in der komplexen Variablen ausgedrückt wird, s. In einer Rückkopplungsschleife mit einer Vorwärtsübertragungsfunktion G(s) und einer Rückkopplungsübertragungsfunktion H(s) ist die Eingabe/Ausgabe-Übertragungsfunktion mit geschlossener Schleife

Diese umfassen die Stabilitätsspielräume von Verstärkung und Phase, die fragen, wie viel zusätzliche Verstärkung dem geschlossenen Regelkreis hinzugefügt werden kann, um diesen Zustand zu erreichen, oder wie viel Phasenverschiebung dem geschlossenen Regelkreis auferlegt werden muss, um diesen Zustand zu erreichen.

Dies kann direkt durch Lösen dieser Gleichungen bestimmt werden, häufiger jedoch mit grafischen Werkzeugen wie den Bode-, Nyquist- oder Nichol-Plots.

Hier ist die einfachste Antwort. Bei -180 Grad muss die Verstärkung unter 0 dB liegen, um positive Rückkopplungen und Oszillationen zu vermeiden. Der Betrag von dB unter 0 dB bei -180 Grad ist die Verstärkungsspanne. Wenn der Verstärker bei -180 -15dB ist. Die Verstärkungsspanne wäre 15dB

Die Phasenreserve ist einfach die Phasendifferenz zwischen dem Phasenwinkel am 0-dB-Übergangspunkt und -180. Wenn der Verstärker z. B. -140 Grad bei 0 dB misst, wäre der Phasenabstand einfach 180-140 = 40 Grad Phasenabstand.

Der Istwert ist immer negativ, wird also vom Sollwert subtrahiert: epsilon=(Sollwert-Istwert).
Sobald Sie Feedback -1 (-180 Grad, A = 1) haben, erhalten Sie ein positives Feedback. Dies macht das ganze System zu einem stabilen harmonischen Oszillator, ein unerwünschtes Merkmal.
Daher können Sie mit der Anpassung der Verstärkung die Kurve im Nyquist-Diagramm ändern, wenn Sie die Verstärkung hinzufügen, bläht sich die Kurve auf, bis zu dem Punkt, der noch etwas Spielraum hat, um nicht zu einem Punkt ohne Rückkehr (-1,0 )

Die Verwirrung entsteht hier durch die folgende Gleichung =A/(1+AB). Dies sagt uns, dass das System instabil ist, wenn AB = -1 oder eine Magnitude von 1 und eine Phase von 180 Grad ist. Wenn wir dies jedoch auch als Schleifenphase von 360 erklären lassen (180 Grad vom invertierenden Anschluss plus 180 Grad vom Rückkopplungsnetzwerk, um eine positive Rückkopplung zu erzeugen, wenn die Größe der Schleifenverstärkung 1 beträgt. Das ist verwirrend! In einem Fall haben wir eine Schleifenphase von 180 Grad Verschiebung dargestellt als Schleifenphasenverschiebung , die Instabilität verursacht , und in der anderen 360 - Schleifenphasenverschiebung , die erforderlich ist , um die Bedingung für positives Feedback zu erfüllen .

Um sein Konzept zu verstehen, nehmen wir an, das System sei ein Verstärker, für -ve Rückkopplung t/f = AB/(1+AB). Nun ist die Verstärkungsspanne, wie wir wissen, = 1/Verstärkung des Systems, bei -180 Grad Phase, dh bei Phasenübergangsfrequenz. Wenn dies nun passiert, führt dies zu AB = 1, da die Phase -180 Grad beträgt, dann führt dies zu AB / (1 + AB) zu 1 / (1 - 1), was unendlich ist, sodass das System nach diesem Punkt instabil wird . Und wir wissen, dass der Phasenabstand der Phasenunterschied bei der Verstärkungsüberkreuzung ist, dh wenn die Verstärkung des Systems 1 beträgt. Was in diesem Fall nun passiert, ist, wenn die Phase -180 Grad erreicht, wird das gleiche t/f zu AB/(1-AB), und da die Verstärkung hier Einheit ist, führt dies auch zu Unendlich. In beiden Fällen berechnen wir also die eine von zwei Variablen, dh Verstärkung und Phase, unter der Annahme, dass sich eine von ihnen am Rand befindet, dh entweder Verstärkung = 1 oder Phase = - 180 Grad, das wird unsere Systemreaktion auf unendlich, dh instabil, führen.