Galileische Transformation der Wellengleichung

Question

Galileische Transformation der Wellengleichung

Computer sagt Nein

Ich habe diese allgemeine Wellengleichung:

\frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{2}} + \frac{\partial^{2} ψ}{\partial j^{2}} - \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial T^{2}} = 0

$\begin{equation} \dfrac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}=0 \end{equation}$

Und folgende Umformung: $t'=t$ ; $x'=x-Vt$ Und $y'=y$

Die Lösung dafür muss lauten:

\frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{' 2}} (1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}) + \frac{\partial^{2} ψ}{\partial j^{' 2}} + \frac{2 v}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{'} \partial T^{' 2}} - \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial T^{^{'} 2}} = 0

$\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial x'^2}\left( 1-\frac{V^2}{c^2}\right)+\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial y'^2}+\dfrac{2V}{c^2}\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial x' \partial t'^2}-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial t^{'2}}=0$

Dies beweist, dass die Geschwindigkeit der Welle von der Blickrichtung abhängt. Ich weiß nicht, wie ich darauf komme? Wenn Sie es einfach in die Gleichung einsetzen, erhalten Sie $x'+Vt$ in der partiellen Ableitung. Gibt es eine andere Möglichkeit, dies zu tun, oder welche Regel muss ich verwenden, um es zu lösen? Ich habe über die Kettenregel oder so nachgedacht, aber wie wende ich sie auf partielle Ableitungen an?

Vijay Murthy

Siehe das . Es gibt keine direkte Antwort, liefert aber den erforderlichen Input. Auch andere verwandte Themen werden besprochen.

Dummheit

Ist das Zeichen mittelfristig,

- \frac{2 V}{c^{2}} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{'} \partial t^{'}}

$-\dfrac{2V}{c^2}\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial x'\partial t'}$ richtig? Oder soll es positiv sein?

Melian

Es sollte positiv sein.

Antworten (2)

Galileische Transformation der Wellengleichung

Siehe das . Es gibt keine direkte Antwort, liefert aber den erforderlichen Input. Auch andere verwandte Themen werden besprochen.
Ist das Zeichen mittelfristig, $-\dfrac{2V}{c^2}\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial x'\partial t'}$ richtig? Oder soll es positiv sein?

Lubos Motl · Answer 1

Sie müssen zuerst die alten partiellen Ableitungen in Bezug auf die neuen umschreiben. A priori sind sie einige lineare Kombinationen mit Koeffizienten, die im Allgemeinen von den Raumzeitkoordinaten abhängen könnten, aber hier hängen sie nicht ab, weil die Transformation linear ist. Die Regeln

T^{'} = T, X^{'} = X - v T, j^{'} = j

$t'=t, \quad x'=x-Vt,\quad y'=y$ übersetzt werden

\frac{\partial}{\partial T} = \frac{\partial}{\partial T^{'}} - v \frac{\partial}{\partial X^{'}}

$\frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t'} - V \frac{\partial}{\partial x'}$

\frac{\partial}{\partial X} = \frac{\partial}{\partial X^{'}}

$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x'}$

\frac{\partial}{\partial j} = \frac{\partial}{\partial j^{'}}

$\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y'}$ Wenn Sie die Koeffizienten vor die rechtsseitigen gestrichenen Ableitungen als Matrix schreiben, ist es dieselbe Matrix wie die ursprüngliche Ableitungsmatrix

\partial x_{i}^{'} / \partial x_{j}

$\partial x'_i/\partial x_j$ . Wenn Sie nicht mit Matrizen arbeiten möchten, überprüfen Sie einfach, ob alle Ausdrücke des Typs

\partial x / \partial t

$\partial x/\partial t$ sind, was sie sein sollten, wenn Sie diese Ableitungen unter Verwendung der drei angezeigten Gleichungen umschreiben und wenn Sie die offensichtlichen partiellen Ableitungen verwenden

\partial y^{'} / \partial t^{'}

$\partial y'/\partial t'$ usw.

Wenn Sie die (zweiten) Ableitungen nach den Koordinaten ohne Strich einfach in die (zweiten) Ableitungen nach den Koordinaten mit Strich umschreiben, erhalten Sie Ihre zweite, galiläisch transformierte Form der Gleichung. Ich habe überprüft, ob es funktioniert – bis auf den möglichen Fehler im Vorzeichen $V$ was sich nur auf das Vorzeichen des Terms mit dem Mixed auswirkt $xt$ zweite Ableitung.

Ich denke, wenn diese Erklärung nicht ausreicht, sollten Sie diese Frage im Mathematikforum erneut stellen.

Vielen Dank! Ich habe es überprüft, und es funktioniert. Ich hatte einige Probleme mit der Transformation von Differentialoperatoren. Ich entschuldige mich dafür, dass ich diese mathematische Frage in der Kategorie Physik gepostet habe, obwohl die Bedeutung der Lösung angemessen ist.
Hallo ... sollte nicht $\frac{\partial }{\partial x'} = \frac{\partial }{\partial x} - \frac{1}{V}\frac{\partial }{\partial t}$ ?? könnten Sie erläutern, warum gerade $\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x'}$ ??
@SantoshLinkha weil $\partial_x(\psi(x'))=\partial_x(\psi(x-vt))=\partial_{x'}\psi * \partial_x(x-Vt)=\partial_{x'}\psi$
Für den Fall, dass jemand versehentlich in die gleiche Falle gerät, die @SantoshLinkha (leicht) gemacht hat, ist eine etwas offensichtlichere Möglichkeit, den Fehler zu erkennen, die Verwendung der Kettenregel (Transformationsregel) für partielle Ableitungen, wir erhalten nämlich einen Term $\frac{\partial t'}{\partial x}$ , was eigentlich ist $0$ , seit $x$ hängt nicht direkt davon ab $t'$ , eher nur auf $t$ (es wäre $1/V$ wenn wir natürlich die Gesamtableitung betrachten würden).

Kunst Braun · Answer 2

Transformationsregel für partielle Ableitungen:

\frac{\partial}{\partial X_{μ}} = \sum_{v} \frac{\partial X_{v}^{'}}{\partial X_{μ}} \frac{\partial}{\partial X_{v}^{'}}

$\frac{\partial}{\partial x_{\mu}} = \sum_{\nu} \frac{\partial x'_{\nu}}{\partial x_\mu} \frac{\partial}{\partial x'_{\nu}}$

Galileische Transformation der Wellengleichung

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Vijay Murthy

Dummheit

Melian

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Lubos Motl

Computer sagt Nein

Santosh Linkha

Alexander Tschska

Noldorin

Kunst Braun

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