Geschwindigkeit in einem sich drehenden Bezugssystem

Seien zwei orthonormale Systeme$Oxyz$,$O'x'y'z'$mit einer allgemeinen Bewegung (translational plus rotatorisch) zwischen einander und einem Punktteilchen$\rm P$, Siehe Abbildung.

Symbolkonventionen:

1.Die Vektoren für die Position$\mathbf{R}$, Geschwindigkeit$\mathbf{U}$und Beschleunigung$\mathbf{A}$eines Teilchens in Bezug auf$Oxyz$ausgedrückt durch Koordinaten desselben Systems sind mit fetten Großbuchstaben symbolisiert.

2.Die Vektoren für die Position$\mathbf{r}^{\prime}$, Geschwindigkeit$\mathbf{u}^{\prime}$und Beschleunigung$\mathbf{a}^{\prime}$eines Teilchens in Bezug auf$O'x'y'z'$ausgedrückt durch Koordinaten dieses gleichen Systems werden mit fetten Kleinbuchstaben mit Akzent symbolisiert.

3.Die Vektoren für die Position$\mathbf{R}^{\prime}$, Geschwindigkeit$\mathbf{U}^{\prime}$und Beschleunigung$\mathbf{A}^{\prime}$eines Teilchens in Bezug auf$Oxyz$ausgedrückt durch Koordinaten des anderen Systems$O'x'y'z'$werden mit fett akzentuierten Großbuchstaben und schließlich symbolisiert

4.Die Vektoren für die Position$\mathbf{r}$, Geschwindigkeit$\mathbf{u}$und Beschleunigung$\mathbf{a}$eines Teilchens in Bezug auf$O'x'y'z'$ausgedrückt durch Koordinaten des anderen Systems$Oxyz$werden mit fetten Kleinbuchstaben symbolisiert.

Da die beiden Systeme orthonormal sind, kann jeder akzentuierte Vektor (Großbuchstaben$\mathbf{V}^{\prime}$oder Kleinbuchstaben$\mathbf{v}^{\prime}$), die mit ausgedrückt wird$O'x'y'z'$-Koordinaten können mit ausgedrückt werden$Oxyz$-Koordinaten über eine orthonormale Transformation$\;\Bbb{S}(t)\;$

$$\begin{equation} \mathbf{V}=\Bbb{S}\;\mathbf{V}^{\prime} \quad \text{or} \quad \mathbf{v}=\Bbb{S}\;\mathbf{v}^{\prime} \tag{01} \end{equation}$$ mit Eigenschaften $$\begin{equation} \Bbb{S}\Bbb{S}^{\top}=\Bbb{I}= \Bbb{S}^{\top}\Bbb{S},\quad \det\left(\Bbb{S}\right)=+1 \tag{02} \end{equation}$$ Diese Transformation stellt auch die Drehung dar, die bei Anwendung auf das System erfolgt $Oxyz$bringt es in Übereinstimmung mit $O'x'y'z'$.

TEIL 1 : Geschwindigkeiten

Lassen Sie ein sich bewegendes Teilchen am Punkt sein$\rm P$zum Zeitpunkt$t$. Sein Positionsvektor relativ zu$\;Oxyz\;$Ist$\;\mathbf{R}(t)\;$Und

$$\begin{equation} \mathbf{R}\left(t\right)=\mathbf{R}_{0}\left(t\right)+\mathbf{r}\left(t\right) \tag{03} \end{equation}$$ Wo $\mathbf{r}(t)$ist sein Positionsvektor relativ zu $\;O'x'y'z'\;$ausgedrückt mit $\;Oxyz$-Koordinaten. Auch $\mathbf{R}_{0}\left(t\right)$ist der Ortsvektor des Ursprungs $O'$relativ zu $\;Oxyz\;$ausgedrückt mit $\;Oxyz$-Koordinaten. So $$\begin{equation} \mathbf{R}(t)=\mathbf{R}_{0}(t)+\mathbf{r}(t)=\mathbf{R}_{0}(t)+\Bbb{S}(t)\:\mathbf{r}^{\prime}(t) \tag{04} \end{equation}$$ Zu beachten ist, dass der Rotationsoperator $\;\Bbb{S}(t)\;$hängt im Allgemeinen wie alle anderen Größen von der Zeit ab $\mathbf{R},\mathbf{U},\mathbf{A},\mathbf{r},\mathbf{u},\mathbf{a}, \ldots$

Von nun an verzichten wir in allen Gleichungen auf die explizite Abhängigkeit von der Zeit$\;t\;$und so nimmt die obige Gleichung (04) die einfache Form an

$$\begin{equation} \mathbf{R}=\mathbf{R}_{0}+\mathbf{r}=\mathbf{R}_{0}+\Bbb{S}\:\mathbf{r}^{\prime} \tag{05} \end{equation}$$

Außerdem verwenden wir einen, zwei oder eine beliebige Anzahl von Punkten, um die zeitlichen Ableitungen der ersten, zweiten oder beliebiger Ordnung für jede Größe (Skalar, Vektor, Matrix usw.) auszudrücken.

Unter Zeitableitung von Gleichung (05) haben wir

$$\begin{equation} \overset{_{^{\bullet}}}{\mathbf{R}}=\overset{_{^{\bullet}}}{\mathbf{R}}_{0}+\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\mathbf{r}^{\prime}+\Bbb{S}\overset{_{_{\bullet}}}{\mathbf{r}^{\prime}} \tag{06} \end{equation}$$ geschrieben als $$\begin{equation} \mathbf{U}=\mathbf{U_{0}}+\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\:\mathbf{r}+\Bbb{S}\:\mathbf{u}^{\prime} \tag{07} \end{equation}$$ oder $$\begin{equation} \mathbf{U}=\mathbf{U_{0}}+\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\:\mathbf{r}+\mathbf{u} \tag{08} \end{equation}$$ wo per Definition $$\begin{eqnarray} \mathbf{U}\equiv & \overset{_{^{\bullet}}}{\mathbf{R}}\; &=\;\text{velocity of particle relative to $Oxyz$ at time $t$} \nonumber\\ \mathbf{U_{0}}\equiv & \overset{_{^{\bullet}}}{\mathbf{R}}_{0}\; &=\;\text{velocity of origin $O'$ relative to $Oxyz$ at time $t$} \nonumber\\ \mathbf{u}^{\prime} \equiv & \overset{_{_{\bullet}}}{\mathbf{r}^{\prime}}\; &=\;\text{velocity of particle relative to $O'x'y'z'$ at time $t$} \nonumber\\ \mathbf{u}\equiv & \Bbb{S}\:\mathbf{u}^{\prime}\; & =\;\text{as $\mathbf{u}^{\prime}$ but expressed in $Oxyz$-coordinates} \nonumber \end{eqnarray}$$

Lassen Sie uns nun den Begriff diskutieren$\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}$in Gleichung (08). Durch Differenzieren der ersten Gleichung in (02) haben wir

$$\begin{equation} \Bbb{S}\Bbb{S}^{\top}=\Bbb{I}\ \Rightarrow\ \overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}+\Bbb{S}\:\overset{_{^{\bullet}}}{\left(\Bbb{S}^{\top}\right)}=\Bbb{O} \tag{09} \end{equation}$$ Aber $$\begin{equation} \overset{_{^{\bullet}}}{\left(\Bbb{S}^{\top}\right)}\:=\:\left(\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\right)^{\top} \tag{10} \end{equation}$$ So $$\begin{equation} \overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\:=\:-\:\left(\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\right)^{\top} \tag{11} \end{equation}$$ Die folgende definierte Matrix $$\begin{equation} \Bbb{W}\:\equiv\:\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\:=\:\text{antisymmetric matrix} \tag{12} \end{equation}$$ kann durch den Vektor dargestellt werden $\boldsymbol{\Omega}$
$$\begin{equation} \Bbb{W}\:\equiv\:\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\:=\: \begin{bmatrix} 0&-\Omega_3&+\Omega_2\\ &&\\ +\Omega_3&0&-\Omega_1\\ &&\\ -\Omega_2&+\Omega_1&0 \end{bmatrix} \:=\:\boldsymbol{\Omega}\:\boldsymbol{\times} \tag{13} \end{equation}$$ Dann wird Gleichung (08) ausgedrückt als $$\begin{equation} \mathbf{U}\:=\:\mathbf{U_{0}}+\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}+\mathbf{u} \tag{14} \end{equation}$$ Beachten Sie, dass $\;\mathbf{r}\;$Und $\;\mathbf{u}\;$sind Position und Geschwindigkeit relativ zum System $\;O'x'y'z'\;$aber ausgedrückt als alle Vektoren in der obigen Gleichung in $\;Oxyz$-Koordinaten. Der Vektor $\;\boldsymbol{\Omega}\;$ist nichts anderes als die momentane Winkelgeschwindigkeit des Systems $\;O'x'y'z'\;$relativ zum System $\;Oxyz$. Also Beobachter $\;Oxyz\;$'baut' den Geschwindigkeitsvektor eines Teilchens $\;\mathbf{U}\;$aus 3 Termen: (1) die Geschwindigkeit $\;\mathbf{U_{0}}\;$aufgrund der Translationsbewegung des Systems $\;O'x'y'z'\;$insgesamt (2) die Umlaufgeschwindigkeit $\;\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}\;$aufgrund der Drehbewegung des Systems $\;O'x'y'z'\;$als Ganzes und (3) die Geschwindigkeit $\;\mathbf{u}\;$des Teilchens relativ zum System $\;O'x'y'z'\;$.

$$\begin{equation} \mathbf{U}\:=\:\underset{\text{$O'x'y'z'$ translation}}{\underbrace{\mathbf{U_{0}}}}+\underset{\text{due to $O'x'y'z'$ rotation}}{\underbrace{\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}}}+\mathbf{u} \tag{15} \end{equation}$$

TEIL 2 : Beschleunigungen

Unter Zeitableitung von Gleichung (06) haben wir

$$\begin{equation} \begin{split} \overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\mathbf{R}}&=\overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\mathbf{R}}_{0}+\left[\overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\Bbb{S}}\mathbf{r}^{\prime}+\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\overset{_{_{\bullet}}}{\mathbf{r}^{\prime}}\right]+\left[\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\overset{_{_{\bullet}}}{\mathbf{r}^{\prime}}+\Bbb{S}\:\overset{_{_{\bullet\bullet}}}{\mathbf{r}^{\prime}}\right]\\ &=\overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\mathbf{R}}_{0}+\overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\Bbb{S}}\mathbf{r}^{\prime}+2\:\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\overset{_{_{\bullet}}}{\mathbf{r}^{\prime}}+\Bbb{S}\:\overset{_{_{\bullet\bullet}}}{\mathbf{r}^{\prime}}\\ &=\overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\mathbf{R}}_{0}+\overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\Bbb{S}}\mathbf{r}^{\prime}+2\:\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\mathbf{u}^{\prime}+\Bbb{S}\:\mathbf{a}^{\prime}\\ &=\mathbf{{A}_{0}}+\overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\mathbf{r}+2\:\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\:\mathbf{u}+\mathbf{a} \end{split} \tag{16} \end{equation}$$ und da $\;\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\;=\;\Bbb{W}\;=\;\boldsymbol{\Omega}\:\boldsymbol{\times}\;$, siehe Gleichung (13), haben wir $$\begin{equation} \mathbf{A}=\mathbf{{A}_{0}}+\overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\mathbf{r}+2\!\left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{u}\:\right)+\mathbf{a} \tag{17} \end{equation}$$ wo per Definition $$\begin{eqnarray} \mathbf{A}\equiv & \overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\mathbf{R}}\; &=\;\text{acceleration of particle relative to $Oxyz$ at time $t$} \nonumber\\ \mathbf{A_{0}}\equiv & \overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\mathbf{R}}_{0}\; &=\;\text{acceleration of origin $O'$ relative to $Oxyz$ at time $t$} \nonumber\\ \mathbf{a}^{\prime}\equiv & \overset{_{_{\bullet\bullet}}}{\mathbf{r}^{\prime}}\; &=\;\text{acceleration of particle relative to $\;O'x'y'z'\;$ at time $t$} \nonumber\\ \mathbf{a}\equiv & \Bbb{S}\:\mathbf{a}^{\prime}\; & =\;\text{as $\mathbf{a}^{\prime}$ but expressed in $Oxyz$-coordinates} \nonumber \end{eqnarray}$$

Für den Begriff$\;\overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\;$haben wir aus Gleichung (13)

$$\begin{equation} \left[\Bbb{W}\:\equiv\:\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}=\boldsymbol{\Omega}\:\boldsymbol{\times}\right]\ \Rightarrow\ \left[\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:=\:\Bbb{W}\:\Bbb{S}\right]\ \Rightarrow\ \left[\overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\Bbb{S}}\:=\:\Bbb{W}\:\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}+\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{W}}\:\Bbb{S}\right] \tag{18} \end{equation}$$ So $$\begin{equation} \overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\:=\:\Bbb{W}^{2}+\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{W}} \tag{19} \end{equation}$$ oder $$\begin{equation} \overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\mathbf{r}\:=\:\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}\right)+\overset{_{^{\bullet}}}{\boldsymbol{\Omega}}\boldsymbol{\times}\mathbf{r} \tag{20} \end{equation}$$ Gleichung (17) wird geschrieben $$\begin{equation} \mathbf{A}=\mathbf{{A}_{0}}+\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}\right)+\overset{_{^{\bullet}}}{\boldsymbol{\Omega}}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}+2\:\left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{u}\:\right)+\mathbf{a} \tag{21} \end{equation}$$ und Neuordnung der Terme der rechten Seite $$\begin{equation} \mathbf{A}=\mathbf{{A}_{0}}+\overset{_{^{\bullet}}}{\boldsymbol{\Omega}}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}+\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}\right)+2\:\left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{u}\:\right)+\mathbf{a} \tag{22} \end{equation}$$

Also Beobachter$\;Oxyz\;$bildet den Beschleunigungsvektor$\;\mathbf{A}\;$eines Teilchens aus 5 Termen: (1) dem Beschleunigungsvektor$\;\mathbf{A_{0}}\;$aufgrund der Translationsbewegung des Systems$\;O'x'y'z'\;$insgesamt (2) die Beschleunigung$\;\overset{_{^{\bullet}}}{\boldsymbol{\Omega}}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}\;$aufgrund der Winkelbeschleunigung$\;\overset{_{^{\bullet}}}{\boldsymbol{\Omega}}\;$der Winkelgeschwindigkeit des Systems$\;O'x'y'z'\;$insgesamt (3) die Zentripetalbeschleunigung$\;\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}\right)\;$, (4) die Beschleunigung$\;2\:\left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{u}\:\right)\;$die mit der sogenannten Coriolis-Trägheitskraft und (5) der Beschleunigung zusammenhängt$\;\mathbf{a}\;$des Teilchens relativ zum System$\;O'x'y'z'\;$.

$$\begin{equation} \mathbf{A}=\mathbf{{A}_{0}}+\overset{_{^{\bullet}}}{\boldsymbol{\Omega}}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}+\underset{\text{Centripetal}}{\underbrace{\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}\right)}}+\underset{\text{-Coriolis}}{\underbrace{2\:\left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{u}\:\right)}}+\mathbf{a} \tag{23} \end{equation}$$
TEIL 3 : Beispiel

Für die Konfiguration der obigen Abbildung haben wir die folgende Rotationsmatrix

$$\begin{equation} \Bbb{S}(t)= \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \;\;\;\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{24} \end{equation}$$ So $$\begin{equation} \overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}=\overset{_{^{\bullet}}}{\theta} \begin{bmatrix} -\sin\theta & -\cos\theta & 0\\ \;\;\;\cos\theta & -\sin\theta & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \tag{25} \end{equation}$$ Und $$\begin{equation} \begin{split} \Bbb{W}\equiv\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\Bbb{S}^{\top}&=\overset{_{^{\bullet}}}{\theta} \begin{bmatrix} -\sin\theta & -\cos\theta & 0\\ \;\;\;\cos\theta & -\sin\theta & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \;\;\;\cos\theta & \sin\theta & 0\\ -\sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ &=\overset{_{^{\bullet}}}{\theta} \begin{bmatrix} \;0 & -1 & \;0\\ +1 & \;0 & \;0\\ \;0 & \;0 & \;0 \end{bmatrix} =\left(\overset{_{^{\bullet}}}{\theta}\mathbf{k}\right)\boldsymbol{\times}= \boldsymbol{\Omega}\:\boldsymbol{\times} \end{split} \tag{26} \end{equation}$$ das ist $$\begin{equation} \boldsymbol{\Omega}= \overset{_{^{\bullet}}}{\theta}\mathbf{k}=\overset{_{^{\bullet}}}{\theta} \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \tag{27} \end{equation}$$

Ich glaube nicht, dass Sie viel Besseres tun können, als sich mit der Identität auseinanderzusetzen

$$\frac{d}{dt} \rightarrow \frac{d}{dt}+\vec \omega \times,$$ was gilt, wenn ersteres auf Vektoren angewendet wird. Der wesentliche Punkt der Identität ist, dass selbst wenn ein Vektor in einem Referenzrahmen stationär ist, er eine gewisse Drehbewegung in dem rotierenden Rahmen hat.

Es kann hilfreich sein, dies in Matrixsprache umzuformulieren: für jeden Vektor$\vec u$, Es liest

$$\frac{d}{dt} \begin{pmatrix}u_x\\u_y\\u_z\end{pmatrix} \rightarrow \frac{d}{dt} \begin{pmatrix}u_x\\u_y\\u_z\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x\\ -\omega_y & \omega_x & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_x\\u_y\\u_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{du_x}{dt} +\omega_y u_z-\omega_z u_y\\ \frac{d u_y}{dt}+\omega_z u_x-\omega_x u_z\\ \frac{du_z}{dt} +\omega_x u_y-\omega_y u_x\end{pmatrix} .$$ Somit wird der Änderungsrate jeder Vektorkomponente ein lineares Vielfaches der anderen Komponenten hinzugefügt, wenn sie "hineindrehen".

(z.B. wenn$\vec \omega=\omega \hat{e}_z$, Dann

$$\frac{d}{dt} \begin{pmatrix}u_x\\u_y\\u_z\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \frac{du_x}{dt} -\omega u_y\\ \frac{d u_y}{dt}+\omega u_x\\ \frac{du_z}{dt} \end{pmatrix} ,$$ so dass $u_x$Und $u_y$verwandeln in ( $\pm$) einander, während sich die Rahmen drehen und die $x$Und $y$Achsen rotieren in ( $\pm$) gegenseitig.)

Das ist die Intuition hinter der Identität. Operativ ist es am einfachsten anzuwenden (ersetzen Sie einfach$\frac{d}{dt}$), und es bietet eine eindeutige Möglichkeit, Änderungsraten von Vektorkomponenten von einem Rahmen zu einem anderen zu verbinden. Was gibt es nicht zu lieben?

Diese Gleichung stammt aus der Ableitung eines rotierenden Rahmens (wie Sie erwähnt haben). Es ist möglicherweise einfacher zu verstehen, wenn Sie sich die beiden Komponenten von ansehen

$$\frac{\rm d}{{\rm d}t} \rightarrow \frac{\partial}{\partial t}+\vec \omega \times$$ als die Änderung, wie sie auf dem sich bewegenden Rahmen zu sehen ist, plus die Änderung aufgrund der Bewegung des Rahmens.

Alles beginnt mit der Positionskinematik. Betrachten Sie einen Punkt A mit Positionsvektor

$$\vec{r}_A = \vec{r}_O + \vec{r}$$

Wo$\vec{r}_O$ist der Positionsvektor des Koordinatenrahmenursprungs und$r$relativer Positionsvektor von A bzgl . O

Die zeitliche Ableitung von$\vec{r}$Ist$\frac{{\rm d} \vec{r}}{{\rm d}t} =\dot{ \vec{r} } + \vec{\omega} \times \vec{r}$, basierend auf Ableitungen auf rotierenden Rahmen , was die Unterscheidung der oben genannten als ermöglicht

$$\vec{v}_A = \vec{v}_O + \dot{ \vec{r} } + \vec{\omega} \times \vec{r}$$

Beachten Sie, dass

$$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \dot{\vec{r}}=\ddot{ \vec{r} } + \vec{\omega} \times \dot{ \vec{r}}$$

Und

$$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t} (\vec{\omega} \times \vec{r}) = \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r} + \vec{\omega}\times \frac{{\rm d} \vec{r}}{{\rm d}t} = \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r} + \vec{\omega}\times (\dot{ \vec{r} } + \vec{\omega} \times \vec{r})$$

also zusammen

$$\vec{a}_A = \vec{a}_O + \ddot{ \vec{r} } + \vec{\omega} \times \dot{ \vec{r}} + \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r} + \vec{\omega}\times (\dot{ \vec{r} } + \vec{\omega} \times \vec{r})$$ $$\vec{a}_A = \vec{a}_O + \ddot{ \vec{r} } + 2\vec{\omega} \times \dot{ \vec{r}} + \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r} + \vec{\omega}\times \vec{\omega} \times \vec{r}$$

Wenn der Punkt dann am Rahmen befestigt ist$\dot{\vec{r}}=0$,$\ddot{\vec{r}}=0$Und

$$\vec{a}_A = \vec{a}_O + \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r} + \vec{\omega}\times \vec{\omega} \times \vec{r}$$

Was die Gleichung zu deiner Frage angeht, bin ich mir nicht sicher, ob sie hier denn zutrifft$\vec{v}$verwendet werden sollte die Relativgeschwindigkeit des Punktes$\dot{\vec{r}}$und die relative Beschleunigung ignoriert$\ddot{\vec{r}}=0$mit der richtigen Gleichung übereinstimmen. Siehe auch hier und hier .