Gibt es eine Möglichkeit, das Faradaysche Induktionsgesetz zu beweisen?

Jeder Beweis beginnt mit Axiomen – Dinge, die eher angenommen als bewiesen werden. Die Axiome sollten durch ihre Anwendbarkeit auf ein breites Spektrum von Phänomenen motiviert sein, aber letztendlich sind sie nur Axiome. Wir testen sie, indem wir ihre Vorhersagen mit Experimenten vergleichen. Axiome, die für eine breitere Vielfalt von Experimenten gelten, sind besser.

Wenn wir mit der Quantenelektrodynamik beginnen (die eine sehr breite Anwendbarkeit hat), dann ist eines der Axiome, dass die Komponenten der elektrischen und magnetischen Felder alle in einem einzigen Eichfeld codiert sind $A_a$, wo der Index$a$nimmt Werte auf$\{0,1,2,3\}$. Diese vier Indexwerte entsprechen den vier Dimensionen der Raumzeit (0 für die Zeitdimension und 1,2,3 für die Raumdimensionen).

Um zu beschreiben, wie die elektrischen und magnetischen Felder im Eichfeld kodiert sind, definieren Sie zunächst

$$F_{ab}\equiv \partial_a A_b - \partial_b A_a \tag{1}$$ Wo$\partial_a$bezeichnet die partielle Ableitung in Bezug auf die$a$-te Koordinate in der Raumzeit. (Das Eichfeld ist eine Funktion aller dieser vier Koordinaten.) Diese Größe ist antisymmetrisch,$F_{ab}=-F_{ba}$, hat also sechs unabhängige Komponenten. Die drei Komponenten$F_{ab}$mit$b=0$sind die Komponenten des elektrischen Feldes$E_a$, und die drei Komponenten$F_{ab}$mit$a,b\neq 0$sind die Komponenten des Magnetfeldes$B_{ab}=-B_{ba}$, die normalerweise mit einem einzigen Index wie folgt geschrieben werden: $$B_1 \equiv B_{23} \hskip2cm B_2 \equiv B_{31} \hskip2cm B_3 \equiv B_{12}. \tag{2}$$ (Beachten Sie das zyklische Muster.) Mit diesen Identifikationen impliziert Gleichung (1) das Faradaysche Gesetz. Um dies zu sehen, beachten Sie zunächst, dass Gleichung (1) impliziert $$\partial_a F_{bc} + \partial_b F_{ca} + \partial_c F_{ab} = 0. \tag{3}$$ (Beachten Sie wieder das zyklische Muster.) Die Komponenten von Gleichung (3) mit allen Indizes ungleich Null sagen aus, dass die Divergenz des Magnetfelds Null ist. Die Komponenten von Gleichung (3) mit einem Index gleich Null, sagen wir$a=0$, geben Sie das Faradaysche Gesetz an: $$\partial_0 B_{bc} + \partial_b E_{c} - \partial_c E_{b} = 0. \tag{4}$$ (Haftungsausschluss: Ich habe nicht überprüft, ob meine Zeichenkonventionen für$E$Und$B$sind Standard, aber wenn sie es nicht sind, dann kehren Sie einfach alle Vorzeichen in Gleichung (2) um. Es ist nur eine Konvention.)

Ich habe auch gehört, dass wir es mit dem Prinzip der kleinsten Wirkung beweisen können, ist das wahr?

Die Formulierung von Dingen in Bezug auf das Eichfeld ermöglicht es, die Gleichungen der Elektrodynamik (klassisch oder Quanten) unter Verwendung des Aktionsprinzips auszudrücken.