Gibt es eine Umlaufbahn, bei der die Roche-Grenze "fühlbar" ist?

Die Roche-Grenze tritt auf, wenn die Schwerkraft des Objekts, die versucht, das Objekt zusammenzuziehen, kleiner wird als die Gezeitenkraft (die versucht, das Objekt auseinander zu ziehen).

Aber der Astronaut ist nicht an die Schwerkraft gebunden, sondern an die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen seinen Atomen. Die Eigengravitation des Astronauten ist im Vergleich zur elektromagnetischen Wechselwirkung vernachlässigbar.

Die Gezeitenkraft, die auf einen Astronauten wirkt, sollte jedoch ein wenig Berechnung erfordern. Wir können die Formel der Erdbeschleunigung um einen punktförmigen Körper herleiten ($F=\frac{GM}{r^2}$), wir bekommen

$$\frac{dF}{dr}=\frac{2GM}{r^3}$$

(Wir können das Zeichen aus offensichtlichen Gründen ignorieren.)

Hier$G$ist die Gravitationskonstante,$M$ist die Masse des Körpers, und$r$ist die Distanz.

Wenn wir die Werte der Sonne ersetzen, erhalten wir$\frac{2\cdot 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 2 \cdot 10^{30}}{(7\cdot 10^8)^3} \approx 7.78\cdot 10^{-7} \frac{\mathrm{m/s^2}}{\mathrm{m}} \approx \underline{\underline{8 \cdot 10^{-8} \frac{g}{\mathrm{m}}}}$.

Noch deutlicher, wenn wir die Sonne knapp über ihrer Oberfläche umkreisen, fühlt ein etwa 2 m langer Astronaut, dass sein Kopf und sein Fuß auseinandergezogen werden$1.6\cdot 10^{-7}g$Last. Im Falle eines$70\:\mathrm{kg}$Astronaut, es ist etwa das Gewicht von$0.0112$Gramm auf der Erde.

Der Astronaut würde es nicht fühlen, aber nicht sehr empfindliche Sensoren könnten es bereits messen.

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_{Diese Berechnung wird manchmal verwendet$\mathrm{g}$für "Gramm" als Masseneinheit und$g$als (nicht standardmäßige) Einheit der Beschleunigung.}

Die Roche-Grenze liegt dort, wo die auf ein umlaufendes Objekt ausgeübten Gezeitenkräfte ausreichen, um die Eigengravitation dieses Objekts zu überwinden .

Die „Eigengravitation“ eines Astronauten ist winzig. Wir können es als etwas wie schätzen

$$F_{\rm grav} \sim \frac{Gm^2}{(h/2)^2},$$ wo$m$ist die Masse des Astronauten (+ Ausrüstung) und$h$ist ihre Größe (Höhe). Vorausgesetzt$m=100$kg und$h=2$m, dann ist die Eigengravitationskraft$2.7\times 10^{-6}$N. Das ist eine Kraft, die zu klein ist, um sie zu fühlen.

Die Gezeitenkraft auf den Astronauten eine Distanz$R$aus einem Massekörper$M$ist circa

$$F_{\rm tidal} \simeq 2 \frac{GMm}{R^3} h,$$ vorausgesetzt, sie zeigen mit den Füßen voran auf die Erde.

Die Roche-Grenze ist wo$F_{\rm grav} < F_{\rm tidal}$, also wo

$$\frac{Gm^2}{(h/2)^2}< 2 \frac{GMm}{R^3} h$$ $$R < h\left(\frac{M}{2m}\right)^{1/3}$$ Zum Beispiel wenn$M=M_{\rm Earth}$und dann für den Astronauten oben$R < 60,000$km für Gezeitenbruch. Was seltsam erscheint, denn Astronauten arbeiten recht glücklich im erdnahen Orbit, wo die Gezeitenkräfte viel stärker sind.

Das Problem bei dieser Berechnung ist, dass Astronauten nicht durch die eigene Schwerkraft zusammengehalten werden und ein Gezeitenfeld an der Roche-Grenze einen vernachlässigbaren Effekt auf einen kleinen Körper hat, der tatsächlich von atomaren Kräften zusammengehalten wird.

Um ein Gezeitenfeld zu erleben, das auf Astronautenwaagen gefühlt werden kann, sagen wir mal größer als 10 N (stellen Sie sich vor, Sie hängen ein 1-kg-Gewicht an Ihren Knöchel auf der Erde), müssten Sie der Quelle der Schwerkraft viel näher kommen.

Unter der Annahme einer festen Masse, die der der Erde entspricht, können wir ausrechnen, dass Sie bis auf 500 km an den Massenmittelpunkt herankommen müssten, um die Gezeitenkraft zu spüren. Für die Erde (und auch für andere Körper des Sonnensystems, für die Sie die gleiche Berechnung durchführen könnten) würde Sie dies weit in die Erde bringen , was nicht möglich ist, und wir könnten dies sowieso nicht annehmen$M$wurde in diesem Fall behoben, weil es sich um die Masse im Inneren handelt$R$das zählt.

Die einzige Möglichkeit, wie ein Astronaut eine Gezeitenkraft "fühlen" könnte, wäre, sich einem kompakten Stern zu nähern - einem Neutronenstern hoher Dichte, einem Weißen Zwerg oder einem Schwarzen Loch. Dort können Sie ein sehr starkes Gezeitenfeld erzeugen, und da sie kompakt sind, könnte ein Astronaut nahe genug herankommen, um es zu spüren.

Wenn wir Peterhs Antwort erweitern, könnten wir versuchen herauszufinden, wie ein astronomisches Objekt sein sollte, damit die Gezeitenkräfte von einem Astronauten gefühlt werden, der es umkreist.

Ich habe keine zuverlässigen Daten darüber, wie stark die Gezeitenkraft zu spüren sein muss. Mit einer großen Vereinfachung können wir jedoch den Ober- und Unterkörper eines Astronauten sehr grob als zwei Massen modellieren, die etwa 1 Meter voneinander entfernt angeordnet sind. Für einen 70 kg schweren Astronauten unter einer Gezeitenkraft von$0.1·g$pro Meter (wo$g$die Erdbeschleunigung ist), wäre die Zugdifferenz zwischen diesen beiden 35-kg-Massen$0.1·35 kg = 3.5 kg$. Diese Kraft würde die Taille des Astronauten dehnen und wäre deutlich spürbar (vielleicht wäre auch eine zehnmal schwächere Kraft spürbar, aber ich bleibe dabei$0.1m^{-1}·g$).

Aus Peterhs Formeln:

$$r=\sqrt[3]{\frac{2·G·M}{0.1m^{-1}·g}}$$

Für ein Objekt mit 1 Sonnenmasse:

$$r=\sqrt[3]{\frac{2·6.67·10^{-11}·2·10^{30}}{0.1·g}}=6481168 m = 6481 km$$

Dann würde ein Astronaut, der eine sonnengroße Masse in einer Entfernung ähnlich dem Erdradius umkreist, die Gezeitenkräfte deutlich spüren, wenn sein Kopf oder seine Füße auf das Objekt zeigen. Natürlich müsste das Objekt ein Schwarzes Loch oder ein Neutronenstern sein, um in die Umlaufbahn zu passen.

Bei einem massereicheren Objekt könnte die Umlaufbahn größer sein, aber da sich die Masse innerhalb einer Kubikwurzel befindet, würde der Radius sehr langsam wachsen.