Wie dicht müsste der Planet Erde sein, um die gleiche Schwerkraft wie Jupiter zu haben?

Es gibt mindestens zwei Interpretationen für dieses Problem:

Laut Wikipedia ist Jupiters Oberflächengravitation$2.528$mal der Erde. Also, wenn die Erde wäre$2.528$mal dichter, hätte er die gleiche Oberflächengravitation wie Jupiter. Die Stromdichte der Erde ist$5.514$Gramm pro Kubikzentimeter, so wäre die neue Dichte$2.528 \times 5.514$, oder ungefähr$13.9394$Gramm pro Kubikzentimeter. Dies setzt voraus, dass wir die Masse der Erde ändern, aber nicht ihren Radius.

Die Antwort von @Rob_Jeffries geht davon aus, dass die Masse der Erde konstant bleibt und sich der Radius ändert. Schrumpft der Radius um den Faktor$2$, verringert sich die Lautstärke um den Faktor$8$, und der Planet wird 8-mal dichter. Die Oberflächengravitation steigt um$4$, da es vom Radius zum Quadrat abhängt. Im Allgemeinen schrumpft der Radius des Planeten um$x$erhöht die Dichte um$x^3$und die Schwerkraft durch$x^2$. Wenn wir die Schwerkraft wollen$2.528$mal höher, wir wählen$x = \sqrt{2.528}$oder gleich herum$1.590$. Das macht$x^3$gleich ungefähr$4.019$. Multiplizieren Sie das mit der aktuellen Dichte der Erde von$5.514$, wir bekommen$22.16$Gramm pro Kubikzentimeter, ziemlich nah an dem, was Rob bekam.

Sie können also die Dichte nicht wirklich ändern, ohne etwas anderes zu ändern: Entweder die Masse oder das Volumen müssen sich ändern.

Sie brauchen nur zwei Formeln. Gravitationsfeld einer kugelsymmetrischen Massenverteilung ist gegeben durch

$$g = \frac{GM}{R^2},$$ wo $M$ist die Masse innerhalb eines Radius $R$. Die zweite Formel ist die durchschnittliche Dichte einer Kugel, also ihre Masse dividiert durch ihr Volumen $$\rho = \frac{M}{(4/3)\pi R^3}$$

Diese beiden Formeln lassen sich offensichtlich zu dem Gravitationsfeld als Funktion von Masse und Dichte zusammensetzen.

$$g = \frac{GM}{(3M/4\pi \rho)^{2/3}}$$ $$\rho = \frac{3}{4\pi} g^{3/2} M^{-1/2} G^{-3/2}$$

Verwenden$g=24.8$Frau$^{2}$für die Oberflächengravitation von Jupiter und$M=6\times10^{24}$kg für die (unveränderte) Masse der Erde. Wir erhalten$\rho = 22096$kg/m$^{3}$.

Beachten Sie, dass meine Antwort davon ausgeht, dass die Masse der Erde fest ist. Wenn Sie stattdessen die Masse ändern und den Radius unverändert lassen:

$$\rho = \frac{3g}{4\pi G R}$$ was gibt $\rho = 13930$kg/m $^{3}$.

Sie können Masse und Radius nicht festgelegt lassen!