Gibt es einen einfachen Beweis dafür, dass Kirchhoffs Kreisgesetze immer einen exakt vollständigen Satz von Gleichungen liefern?

Die Antwort ist nicht ganz einfach, um dies zu zeigen, brauchen wir etwas Graphentheorie und Matrizen. Es gibt ein schönes Dokument, das diese Beziehung im Detail erklärt:

Graphen, Matrizen und Schaltungstheorie . Takis Konstantopoulus, Februar 2000.

Erhältlich bei Semantic Scholar ; Originallink an der Universität Uppsala (jetzt tot; archivierte Version ).

Ich denke, der "grundlegende Grund" dafür hängt mit der Tatsache zusammen, dass jede Schleife unterschiedliche Variablen hat. Wenn wir eine Schleife mit einer anderen Schleife erzeugen können, werden die Gleichungen nicht unabhängig sein. Natürlich ist dies meiner Meinung nach die ganze Mathematik in der dokumentieren.

Hier ein Gegenbeispiel:

Angenommen, zwei identische, ideale Batterien (mit einem Innenwiderstand von Null) sind beide parallel über einen einzigen Widerstand geschaltet. Ersetzen Sie entsprechend einen der Widerstände in Ihrem Diagramm durch eine zweite, identische Batterie. Nehmen Sie auch an, dass die leitenden Drähte ideal sind (wieder kein Widerstand).

Die Kirchhoffschen Gesetze führen in diesem Fall zu einem unterbestimmten System. Wenn der Strom durch den einzelnen Widerstand I ist und die Spannung an beiden idealen Batterien V ist, können Sie den Strom durch keine der Batterien allein mit den Gesetzen von Kirchoff ermitteln; Beide Schleifen geben die Spannung über dem Widerstand als V an, und beide Übergänge sagen, dass die Summe der Ströme durch die Batterien gleich I sein muss , erlauben Ihnen jedoch nicht, einen dieser Ströme zu berechnen. Beispielsweise erfüllt ein Strom von 3 I nach oben durch eine Batterie und 2 I nach unten durch die andere das Gleichungssystem. In diesem Fall müssen Sie ein Symmetrie-Argument verwenden, um zu schließen, dass der Strom durch jede Batterie I /2 ist.

Bei realen Geräten ist dies jedoch kein Problem, da Spannungsquellen immer einen gewissen Innenwiderstand aufweisen. Wenn wir uns also darauf einigen, nicht ideale Schaltungselemente zu verwenden, stimme ich der Antwort von @Hu zu.

Dies wirft indirekt eine andere Frage auf; sind die Kirchoffschen Gesetze in idealen Schaltungen sinnvoll? Ich bin mir sicher, dass es viele weitere Beispiele wie das obige gibt, bei denen das resultierende System linearer Gleichungen unterbestimmt ist (obwohl ich bezweifle, dass es Fälle gibt, die überbestimmt sind). Wir verwenden ideale Situationen, um reale Systeme zu modellieren, aber ist das eine gute Idee, wenn die Antworten im Idealfall unbestimmt sind?

Diese Antwort ist eine Adaption von Problem 1.4 in Používáme lineární algebru , einem Buch gelöster Probleme in der linearen Algebra (online frei zugänglich, aber leider nur auf Tschechisch, AFAIK). Ich zeige das mit folgenden Annahmen:

• Wir haben es mit einem Gleichstrom- oder (niederfrequenten) Wechselstromkreis zu tun, dessen einzige Elemente Widerstände und ideale Spannungsquellen sind,
• Jede Kante der Schaltung trägt einen Widerstand ungleich Null (positiv).

Die Schaltungsgesetze von Kirchhoff bieten eine einzigartige Lösung für den Strom und die Spannung an jedem Element der Schaltung.

Zuerst einige Kommentare. Die Einzigartigkeit ist aus physikalischen Gründen leicht zu verstehen. Die Linearität der Kirchhoffschen Gesetze impliziert, dass es nur dann mehr als eine Lösung geben kann, wenn dieselbe Schaltung mit entfernten Quellen (dh ihre Spannung auf Null gesetzt, ohne die Topologie der Schaltung zu ändern) nicht triviale Ströme unterstützen kann. Die Annahme eines positiven Widerstands an jeder Kante der Schaltung macht dies aufgrund der Energieeinsparung physikalisch unmöglich. Aus dem gleichen Grund glaube ich, dass die gleiche Aussage für Wechselstromkreise mit anderen Elementen als Widerständen gilt, solange die Impedanz jeder Kante einen positiven Realteil hat. Es ist mir jedoch nicht sofort klar, wie das folgende Argument auf diesen Fall verallgemeinert werden kann. Man kann auch leicht erkennen, dass das Aufgeben der Annahme eines positiven Widerstands sowohl zu Mehrdeutigkeiten in der Lösung als auch zu Pathologien führen kann: siehe die Antworten von Ryan Hazelton und Alfred Centauri. Schließlich sollte das gleiche Argument für Schaltungen mit Ideal geltenStromquellen aufgrund der Dualität zwischen den beiden Arten von Quellen; die Annahme idealer Spannungsquellen dient lediglich der Vereinfachung der Notation.

Nun zum Geschäft. Ich gehe davon aus, dass WLOG die Schaltung durch einen verbundenen Graphen darstellt; ansonsten betrachtet man einfach alle zusammenhängenden Komponenten einzeln. Die Argumentation folgt im Wesentlichen der Knotenspannungsmethode . Im ersten Schritt stellen wir fest, dass das zweite (Spannungs-)Gesetz von Kirchhoff der Existenz eines Potentials auf dem Graphen entspricht. Angenommen, die Schaltung hat$N$Ecken (Knoten). Wir können zum Beispiel das Potential eines von ihnen willkürlich wählen$u_1=0$. Für eine gegebene Lösung der Kirchhoffschen Gesetze können wir dann das Potential erhalten$u_i$des$i$-ten Scheitelpunkt durch Addieren von Spannungsabfällen über Widerständen und Spannungen, die von Quellen über einen beliebigen Verbindungspfad geliefert werden$i$-te Ecke zu$u_1$. Kirchhoffs zweites Gesetz garantiert, dass das Ergebnis für$u_i$ist unabhängig von der Wahl des Pfades und damit wohldefiniert.

Im zweiten Schritt beschäftigen wir uns mit einem Gleichungssystem für die unbekannten Potentiale$u_2,\dotsc,u_N$, impliziert durch Kirchhoffs erstes (aktuelles) Gesetz. Wir betrachten nur Ecken$2,\dotsc,N$, was gibt$N-1$Gleichungen für die$N-1$unbekannte Potenziale. Die Gleichung für die$i$-te Ecke liest sich symbolisch

$$\sum_j\frac1{R_{ij}}(u_i-u_j+U_{ij})=0,$$ wo die Summe über alle Ecken ist$j$verbunden$i$durch eine Kante,$R_{ij}$bezeichnet den Widerstand in der Kante$ij$, und$U_{ij}$die von Quellen darin gelieferte Spannung. Wir können diesen Satz von Gleichungen in Matrixform schreiben,$M\vec u=\vec U$, wo$\vec u=(u_2,\dotsc,u_N)^T$und$\vec U$enthält die Quelldaten. Die diagonalen Elemente der Matrix$M$sind $$M_{ii}=\sum_j\frac1{R_{ij}},$$ während die nichtdiagonalen Elemente sind $$M_{ij}= \begin{cases} -1/R_{ij}\text{ if $i$ and $j$ are connected and $j\neq1$,}\\ 0\text{ otherwise.} \end{cases}$$ Die Positivität aller Widerstände impliziert dies $$\sum_{j\neq i}|M_{ij}|\leq|M_{ii}|$$ für alle$i=2,\dotsc,N$. Außerdem gibt es solche$i$(diejenigen, die durch eine Kante mit verbunden sind$u_1$), für die die strikte Ungleichung gilt. Dies impliziert, dass die Matrix$M$ist diagonal dominant und daher invertierbar. Dies garantiert, dass das Gleichungssystem für die Potentiale$u_2,\dotsc,u_N$hat eine einzigartige Lösung.

Sobald alle Potentiale bekannt sind, können die Ströme durch alle Kanten des Stromkreises leicht rekonstruiert werden. Der Strom durch die Kante$ij$ist symbolisch

$$I_{ij}=\frac1{R_{ij}}(u_i-u_j+U_{ij}).$$ Dies schließt die Argumentation ab und zeigt mathematisch, warum die Annahme positiver Widerstände eine hinreichende Bedingung für die Feststellung der Existenz einer eindeutigen Lösung ist. Allgemeiner gesagt existiert immer dann eine eindeutige Lösung, wenn die oben definierte Matrix vorliegt$M_{ij}$, die von der Topologie der Schaltung und den Widerständen, aber nicht von den Quellen abhängt, ist nichtsingulär. Sollte$M_{ij}$singulär sein, es kann mehr als eine Lösung oder gar keine Lösungen geben, wie man es aus der linearen Algebra kennt .

es gibt immer genügend Gleichungen, um alles festzuhalten (das lineare System ist nie unterbestimmt).

Hier ist eine einfache ideale Schaltung, bestehend aus einer spannungsgesteuerten Stromquelle (VCCS) und einem Widerstand, bei dem der Widerstandsstrom$I_R$ist durch die Schaltungsgleichungen nicht bestimmt:

Die Spannung am Widerstand (oberer Anschluss ist positiv) ergibt sich aus dem Ohmschen Gesetz:

$$V_R = I_R\cdot 1\Omega$$

Die VCCS-Steuerspannung ist gleich$V_R$durch KVL, und der Widerstandsstrom ist gleich dem VCCS-Strom durch KCL. Somit ist der Widerstandsstrom gegeben durch

$$I_R = V_R \cdot 1\mho$$

und so ergeben sich die Schaltungsgleichungen

$$I_R = I_R\cdot 1\Omega\cdot 1\mho = I_R$$

Das heißt, jeder Wert für$I_R$löst diese Schaltung.

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Update zur Behebung dieses Kommentars:

Die Frage listet auf, welche Komponenten erlaubt sind. Ein VCCS gehört nicht dazu. – Ben Crowell vor 1 Stunde

Tatsächlich listet die Frage (1) Widerstände, (2) Spannungsquellen und (3) Stromquellen als zulässige Komponenten gemäß dem Eröffnungssatz auf:

Angenommen, ich habe einen komplizierten Stromkreis, der ausschließlich aus Widerständen und Spannungs- und Stromquellen besteht ...

Jetzt ist ein VCCS eine Stromquelle . Der Begriff "Stromquelle", unqualifiziert mit entweder unabhängig oder abhängig (kontrolliert) , kann sich auf beide Typen beziehen.

Eine ideale Stromquelle erzeugt einen Strom, der unabhängig von den Spannungsänderungen an ihr ist. ... Wenn der Strom durch eine ideale Stromquelle unabhängig von jeder anderen Größe in einem Stromkreis angegeben werden kann, spricht man von einer unabhängigen Stromquelle . Wenn umgekehrt der Strom durch eine ideale Stromquelle durch eine andere Spannung oder einen anderen Strom in einem Stromkreis bestimmt wird, spricht man von einer abhängigen oder gesteuerten Stromquelle .

Es kann sein, dass Emilio für diese Frage nur an Schaltungen mit unabhängigen Quellen interessiert ist. Aber es ist sicherlich nicht so, dass die Frage dies explizit aussagt, noch ist es so, dass man rational schlussfolgern könnte, dass abhängige Quellen offensichtlich von der Betrachtung ausgeschlossen sind.

Solange und bis Emilio seine Frage nicht bearbeitet, um ausdrücklich anzugeben, dass nur Schaltungen mit Widerständen und unabhängigen Quellen zu berücksichtigen sind, werde ich diese Antwort unverändert lassen.

Das zweite Problem löst das erste. Sind genügend Daten aus der Messung bekannt, ist der Zustand des Systems eindeutig bestimmt. Wenn mehr als genug Daten gemessen wurden, wirkt sich dies nicht auf die Lösung aus, es sei denn natürlich, Kirchhoffs Annahmen sind nicht erfüllt oder Maxwells Gleichungen sind fehlerhaft.

Was die geforderten fundamentalen Gründe betrifft, so folgen die Kirchhoffschen Gesetze direkt aus den Maxwellschen Gleichungen, die die Stromerhaltung und das Verschwinden von implizieren${\bf \nabla} \times {\bf E}$unter Kirchhoffs Annahmen.