Gibt es einen tieferen Grund, warum sich Federn wie Kondensatoren kombinieren?

Elektrische Analogien mechanischer Elemente wie Federn, Massen und Dämpfer liefern die Antwort. Die "tiefe" Verbindung besteht einfach darin, dass die Differentialgleichungen die gleiche Form haben.

In der Theorie der elektrischen Schaltung ist die Quervariable die Spannung, während die Durchgangsvariable der Strom ist.

Die analogen Größen in der Mechanik sind Kraft und Geschwindigkeit. Beachten Sie, dass in beiden Fällen das Produkt der Quer- und Durchgangsvariablen die Einheit der Potenz hat.

(Abgesehen davon ist es manchmal praktisch, Kraft und Geschwindigkeit als Quer- bzw. Durchgangsvariablen zu verwenden, während es manchmal bequemer ist, diese Rollen zu tauschen.)

Unter der Annahme, dass die Geschwindigkeit die Durchgangsvariable ist, sind Geschwindigkeit und elektrischer Strom analog. Verschiebung und elektrische Ladung sind also analog.

Für einen Frühling haben wir$f = kd \rightarrow d = \frac{1}{k}f$während wir für einen Kondensator haben$Q = CV$.

Für eine Messe haben wir$f = ma = m\dot v$während wir für einen Induktor haben$V = L \dot I$

Schließlich haben wir für einen Dashpot$f = Bv$während wir für einen Widerstand haben$V = RI$.

Also haben wir

$\frac{1}{k} \rightarrow C$

$m \rightarrow L$

$B \rightarrow R$

Eine schöne Zusammenfassung mit Beispielen finden Sie hier .

UPDATE: In einer anderen Antwort stellt RubenV die oben gegebene Antwort in Frage. Seine Argumentation erfordert eine Aktualisierung.

Die Antwort von Alfred Centauri ist nicht richtig. Die von ihm erwähnte Analogie ist wahr, aber sie ist irrelevant, da sie nichts über Komponenten in Reihe oder parallel aussagt.

Tatsächlich ist es relevant und sagt Ihnen alles über Komponenten in Reihe oder parallel. Lassen Sie uns überprüfen:

Wenn zwei Schaltungselemente parallel sind , ist die Spannung über jedem identisch.

Wenn zwei Schaltungselemente in Reihe geschaltet sind , ist der Strom durch beide identisch.

Dies ist grundlegend und muss im Hinterkopf behalten werden, wenn man zur mechanischen Analogie übergeht .

In der mechanischen Analogie, in der eine Feder das mechanische Analogon eines Kondensators ist:

Kraft ist das Analogon der Spannung

Geschwindigkeit ist das Analogon des Stroms .

Betrachten Sie vor diesem Hintergrund zwei Federn, die mechanisch parallel geschaltet sind, und beachten Sie, dass die Geschwindigkeit (Änderungsrate der Verschiebung) für jede Feder identisch ist.

Aber erinnern Sie sich, in dieser Analogie ist die Geschwindigkeit das Analogon des Stroms. Somit ist die äquivalente elektrische Analogie zwei Kondensatoren in Reihe (identischer Strom ).

In Reihe kombiniert die Kapazität wie folgt:

$\dfrac{1}{C_{eq}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}$

Mit der Frühlingsanalogie$C \rightarrow \frac{1}{k}$, daraus wird:

$k_{eq} = k_1 + k_2$

Der entscheidende Punkt, den man hiervon wegnehmen sollte, ist, dass die mechanische Parallelschaltung in dieser Analogie eine Schaltungsreihe ist, da bei der mechanischen Parallelschaltung die Geschwindigkeit (Strom) gleich ist, nicht die Kraft (Spannung).

Betrachten Sie zum Beispiel Dash Pots (Widerstände). Zwei „parallel“ geschaltete Dämpfer wirken wie zwei Widerstände in Reihe, dh der Bewegungswiderstand zweier „parallel“ geschalteter Dämpfer ist größer als jeder einzeln.

Wenn nun die Rollen der analogen Variablen vertauscht werden, wenn Kraft wie Strom und Geschwindigkeit wie Spannung ist, dann ist mechanische Parallelität wie Schaltungsparallelität. In dieser Analogie ist Masse jedoch wie Kapazität.

Sie können diese Schlussfolgerung nicht aus einem naiven Argument „beide speichern Energie“ ziehen (obwohl Sie es als Gedächtnisstütze verwenden können, wenn Sie feststellen, dass es Ihnen hilft).

Kapazitäten werden normalerweise in Farad gemessen, was Coulomb zum Quadrat pro Joule entspricht, während Federkonstanten normalerweise in Newton pro Meter gemessen werden, was Joule pro Quadratmeter entspricht.

Wenn Sie Ihre Berechnungen mit Joule an einer konsistenten Position in der Einheit durchgeführt haben, zum Beispiel unter Verwendung der reziproken Kapazität (Elastanz?), Würden Sie meiner Meinung nach feststellen, dass die Berechnungen der Parallel- und Serienzusammensetzung umgekehrt waren (und die reziproke Kapazität sich eher wie Widerstand und Induktivität verhalten würde ).

Steifigkeiten addieren sich, wenn die Federn "parallel" (nebeneinander) verbunden sind:$F = F_1 + F_2$;$x_1 = x_2 = x$;$k_x = k_1 x + k_2 x$;$k_x = k_1 + k_2$.

Konformitäten addieren sich, wenn die Federn "in Reihe" (Ende an Ende) verbunden sind:$F_1 = F_2 = F$;$x = x_1 + x_2$;$s_ F = s_1 F + s_2 F$;$s_ = s_1 + s_2$.

Das meine ich mit "die mathematischen Änderungen" - die Physik ist offensichtlich die gleiche, aber die Form der Gleichungen ist anders. Ich stelle Ihre Fähigkeit in Frage, von "sie speichern Energie" zu "sie addieren parallel (und addieren als Inverse in Reihe)" zu springen, indem ich darauf hinweise, dass bei der Verwendung von Nachgiebigkeiten anstelle von Steifigkeiten die entgegengesetzten Gleichungen (die natürlich darstellen die gleiche Physik) erhalten werden.

Was Induktoren betrifft - warum sind Kondensatoren eine bessere Analogie als Induktoren? Hm. Wie hält Ihre Argumentation den folgenden Einwänden stand?

Wir sind es gewohnt, mit der Steifigkeit oder Rate von Federn k zu arbeiten, definiert durch$F = k x$. Aber es ist nicht weniger sinnvoll, mit der Compliance zu arbeiten$s = 1 / k$, definiert von$x = s F$. Dies ändert nichts an der grundlegenden Tatsache, dass Federn Energie speichern und dass sie als elektrische Analoga von Kondensatoren angesehen werden können. Aber die Mathematik ändert sich!

Betrachten Sie alternativ Induktoren, die auch Energie speichern und typischerweise durch die Induktivität L gekennzeichnet sind, die durch definiert ist$V=L. di/dt$. Fügen Induktivitäten ähnliche Kapazitäten oder ähnliche Widerstände hinzu?