Gravitations-PE verloren gegen elastisches PE, das an Masse zugenommen hat - Feder

In SHM gibt es keine Dämpfung, so dass die Schwingung ewig andauern würde. Um das System ins Gleichgewicht zu bringen, wäre eine äußere Kraft erforderlich, und die in der Feder gespeicherte Energie würde aufgelöst, um diese Kraft zu überwinden. Die Energie mgx, wobei x die ist Der Gleichgewichtspunkt, an den das System durch eine äußere Kraft gebracht wurde, ist gleich 1/2 kx^2 (in der Feder gespeichert) + der Energie, die verbraucht wird, um die Schwingung zum Stillstand zu bringen. Der Abstand h, in den die Energie mgh vollständig umgewandelt wird Federenergie 1/2kh^2 ist der Punkt, an dem die Masse den maximalen Abstand vom Gleichgewicht hat und augenblicklich in Ruhe ist, kurz bevor sie die Richtung umkehrt. Aber dies ist kein Gleichgewicht und hier ist mg nicht = kh.

Was Sie entdeckt haben, ist der Grund für Schwingungen!

Nennen wir die Position, an der die Saite nicht gedehnt ist$x=0$. Angenommen, wir halten den Ball einfach an dieser Position. Die totale Energie des Balls an diesem Punkt ist$0$in unseren Kongressen.

Jetzt lassen wir es und lassen es untergehen. Die Kräfte gleichen sich aus$x_{eq} = - \tfrac{mg}{k}$. Und wie Sie richtig betont haben, ist die potentielle Energie des Balls an diesem Punkt

Die Antwort lautet: Der Rest der Energie steckt an dieser Stelle in der kinetischen Energie. Die Geschwindigkeit an diesem Punkt wird den korrekten Wert haben, so dass$\tfrac{1}{2} m v_{eq}^2 = \tfrac{1}{2} k x_{eq}^2$, und daher sinkt der Ball weiter, obwohl die Kräfte ausgeglichen sind.

Nun, das Potenzial für Verwirrung besteht darin, dass der Ball schließlich zur Ruhe kommt, also wo ist dann die Energie. Die Antwort hier ist Dissipation: Es muss eine Kraft geben, die die Schwingungen dämpft, sonst hören sie nie auf und die Energie wird es immer sein$0$.

Es gibt ein alternatives Bild, in dem Sie den Ball niemals an Geschwindigkeit gewinnen lassen, indem Sie eine Bühne darunter stellen und die Bühne langsam nach unten bewegen. Ich habe kein ganz klares Verständnis davon, aber ich denke, die Bühne frisst den Energieunterschied in gewisser Weise auf. Ein etwas einfacherer Fall ist, wenn Sie den Tisch nicht kontinuierlich, sondern in winzigen diskreten Schritten bewegen; dann verbraucht die Bühne bei jedem Schritt eindeutig genug Energie, um die Schwingungen zu dämpfen. Ich verstehe die Grenze dieses diskreten Prozesses in Bezug auf die Schrittgröße nicht$0$, aber das ist alles, was verstanden werden muss.

Übrigens: Die Tatsache, dass die Gesamtenergie am Ende, wenn die Kugel im Gleichgewichtspunkt zur Ruhe gekommen ist, negativ ist, ist gewissermaßen der Virialsatz der klassischen Mechanik . Ich habe nicht genau ausgepackt, wie, aber lassen Sie mich die Analogie in meinem Kopf ein wenig konkretisieren; Wenn jemand es genauer sagen kann, bearbeiten Sie bitte diese Antwort.

Das klassische Beispiel des Virialsatzes ist ein Planet, der einen Stern umkreist. In diesem Fall ist die Gravitationspotentialenergie$-2$mal die kinetische Rotationsenergie. Wenn Sie sich nur auf die radiale Richtung konzentrieren, sieht es sehr danach aus, als würde eine Zentrifugalkraft vom Stern wegdrücken und Gravitationsenergie auf ihn zu. Die Analogie ist die Zentrifugalkraft$\leftrightarrow$ $mgx$und Gravitationskraft$\leftrightarrow \tfrac{1}{2} k x^2$, kontraintuitiv wie das ist.

Schritt 1 auf dem Weg zur Präzisierung besteht darin, die Gravitationskraft zu bemerken$\tfrac{G M m}{r^2}$kann für kleine Verschiebungen erweitert werden --- damit$r=r_0 + \delta r$--- als$\tfrac{G M m}{r_0^2} (1 - 2 \delta r)$, was eine lineare Kraft ergibt. Ich weiß aber nicht, wie ich an die Zentrifugalkraft denken soll.

Danksagungen zur Diskussion: user128785 und ein weiterer Freund, der nicht am Stakc-Austausch teilnimmt.

EDIT: Es stellt sich heraus, dass Timaeus zuerst dasselbe gesagt hat. Entschuldigung für die Wiederholung.

Sicherlich sollte die durch die Masse verlorene potenzielle Gravitationsenergie gleich der durch die Feder gewonnenen elastischen potenziellen Energie sein?

Im Gegenteil, wenn etwas heruntergefallen ist, bedeutet das nicht, dass es eine gewisse Abwärtsgeschwindigkeit gewonnen hat, und daher sollte die Änderung der kinetischen Energie mit dem an dem Objekt ausgeführten Netzwerk zusammenhängen?

Hier ist eine Warnung. Nehmen wir an, Sie haben k und g und m gemessen. Legen Sie nichts Wertvolles in einem Abstand x unter die ursprüngliche Federposition, wo kx=mg. Denn nur weil die Kraft an diesem Punkt Null ist, heißt das nicht, dass sich das Objekt nicht weiterbewegt, wenn es eine gewisse Geschwindigkeit hat.

Kinetische Energie kann aus diesem Problem herausgenommen werden, indem der folgende Aufbau verwendet wird. Lassen Sie die Masse auf einer höhenverstellbaren Bühne sitzen und an der Feder befestigen, aber noch nicht dehnen. Ich beginne, die Höhe der Bühne langsam zu senken, damit die Masse beginnt, die Feder auszudehnen. Die Masse verlängert die Feder, bis sich die Kräfte der Feder und des Gewichts gegenseitig aufheben, dh$mg=kx$, an welchem ​​Punkt es den Kontakt mit der Bühne verliert und nur an der Feder aufgehängt ist; Über diesen Punkt hinaus gibt es keine Bewegung und daher keine kinetische Energie.

Personen, die mit dem obigen Argument nicht einverstanden sind, können sich die Verlängerung eines an der Masse befestigten Drahtes auf ähnliche Weise innerhalb des Hookeschen Gesetzesregimes vorstellen. Die Masse am Ende des Drahtes führt kein SHM durch.

Die potentielle Energie sollte getrennt von der Kraft an einem Punkt behandelt werden . Dies ist sehr wichtig. Die potentielle Energie wird durch Integrieren der Kraft über die Verschiebung erreicht, daher wird das Einsetzen der Gleichheit der Kräfte an einem beliebigen Punkt in die Antwort, die durch Integrieren der gleichen Kraft über die Verschiebung erhalten wird, einen solchen Widerspruch eindeutig ergeben!

Sie können diesen Widerspruch nur mathematisch sehen. Es seien zwei Funktionen$f_{1}(x)$Und$f_{2}(x)$; jetzt auch wenn

Warum, fragen Sie sich vielleicht? Denn tatsächlich sind sie für die meisten Integrale (dh den Definitionsbereich von x) nicht gleich. Der Grund, warum sich die Feder sogar unter dem Gewicht der Masse dehnt, ist folgender$mg>kx \ \forall x\in [0,x_{f})$; Wenn$mg=kx$waren bei jedem wahr$x$, die Feder würde sich überhaupt nicht dehnen!

Eine zu lange Antwort für einen einfachen Fehler, aber sei vor blinder Substitution gewarnt. :)