Ein Gewicht auf eine Federwaage fallen lassen

Angenommen, ich lasse ein 5-kg-Gewicht aus einer Höhe von 1 Meter auf eine Federwaage fallen, wie sie viele Menschen in ihrem Badezimmer haben. Beim Aufprall zeigt die Waage ein höheres Gewicht als 5kg an.

Frage : Welche Größen fließen in das auf der Waage angezeigte Maximalgewicht ein und gibt es eine Möglichkeit, die Eigenschaften der Feder in der Waage anhand dieser Informationen zu berechnen?

Edit: Das ist keine Hausaufgabe, nur etwas, worüber ich mich heute Morgen beim Zähneputzen gewundert habe ...

Antworten (2)

Wenn Sie davon ausgehen, dass die Skala wie eine Feder funktioniert, was vernünftig erscheint, dann ist im normalen Gebrauch der Hubraum X der Waage ist proportional zur Masse M . Die Gleichgewichtsbeziehung ist

(1) M G = k X ,
Wo k ist die Steifigkeit der Feder.

Angenommen, wenn Sie eine Masse fallen gelassen haben M aus einer Höhe H , alle kinetische Energie (die gleich ist M G H weil es aus potentieller Energie umgewandelt wurde) in elastische Energie umgewandelt wird, haben wir die Beziehung

(2) M G H = 1 2 k X 2 .
Das Verhältnis zwischen der gemessenen Masse M und die reale Masse M ist deshalb
M = 1 2 G M 2 k H .
Unter all diesen Annahmen finden wir, dass die Steifigkeit der Feder ist k = 1 2 G H M 2 M .

Wenn wir machen H = 0 , die angezeigte Masse
M = 2 k H M G
Ist M = 0 , wann es sein soll M = M (was angezeigt wird, wenn wir das Gewicht vorsichtig auf die Waage legen, wie wir es sollten). Auch diese Lösung berücksichtigt nicht die Aussage, dass das Display M ist mehr als M für alle H > 0 . Das kann also nicht ganz stimmen . Vielleicht ist es eine gültige Annäherung in einem nicht angegebenen Bereich, wie z
H ≫ M G k
PS: was für eine Qual, die die Notation macht M > M .
@fgrieu. Du hast recht, ich habe zwei Annäherungen gemacht. 1. Ich habe die Verschiebung der Skala bei der Angabe der Gesamtenergie vernachlässigt: X ≪ H . 2. Ich habe das Dämpfungssystem in der Waage vernachlässigt. Wenn ich Zeit habe, werde ich die Lösung einschließlich dieser beiden zusätzlichen Parameter hinzufügen.
Korrektur: wenn wir machen H = 0 , sollten wir erhalten M = 2 M .

Lösungsvorschlag : Die Steifigkeit der Feder hat Einfluss auf den momentan angezeigten Wert; je steifer, desto höher. Für ungewöhnlich weiche Federn (weich genug, dass die Waage nach unten geht 5 cm oder mehr, wenn ein Erwachsener darauf tritt), könnte die folgende Analyse eine Abschätzung der Federsteifigkeit ermöglichen. Aber mit einer normalen mechanischen Personenwaage ist die Methode nicht anwendbar; Wir werden keine Zeit haben, die Messung vorzunehmen, sie würde weit außerhalb der Skala liegen oder/und nutzlos sein, und das Experiment wird wahrscheinlich die Waage beschädigen, wenn sie oder die Masse nicht weich oder/und elastisch ist. Der Messwert hängt wirklich stark von der Masse der beweglichen Teile der Waage ab und davon, was mit der Energie beim Aufprall passiert: Diese könnte in einer dauerhaften Beschädigung der Oberfläche der Waage oder der heruntergefallenen Masse verloren gehen; oder es könnte als Verformung der Masse oder der Oberfläche der Waage gespeichert werden, anstatt als Verformung der Feder der Waage; In diesen Fällen ist der Messwert wenig hilfreich, um die Steifigkeit der Feder abzuschätzen.

Dies verbessert hoffentlich eine Annäherung, die in der anderen Antwort gemacht wurde , während dieselbe Hypothese (in der Praxis zweifelhaft) verwendet wird

  1. die Skala hat keine Dämpfung oder Reibung
  2. Beim Aufprall der Masse auf die Waage geht keine Energie verloren
  3. Der Bewegungsmechanismus der Waage hat im Vergleich zur abgeworfenen Masse eine vernachlässigbare Masse

Ich verwende die gleiche Notation mit Ausnahme des maximalen Messwerts der Skala, die ich umbenenne R (statt M , was da verwirrend ist M ≫ M in der Praxis).

  • M = 5 kg Masse des Objekts
  • R   höchster angezeigter Wert der Waage (in kg)
  • X   entsprechende maximale Verschiebung der Waage seit Kontakt (in m)
  • H = 1 m Fallhöhe von der Waagenoberfläche vor dem Kontakt
  • G = 9.81 N/kg Schwerkraft der Erde (sowohl lokal als auch vom Waagenhersteller angenommen)
  • k   Steifigkeit der Feder (in N/m)

Die Skala ist so, dass

R G = k X
Wenn die Skala angezeigt wird R , die gesamte Energie der aus der Höhe fallenden Masse H dann unten vorbei X wird also im Frühjahr gespeichert
M G ( H + X ) = 1 2 k X 2

Eliminieren X , wir bekommen

2 M ( k H + R G ) = R 2 G

Wenn wir einstecken H = 0 es folgt dem R = 2 M (es gibt ein vorübergehendes Überschwingen; das ist normal, und in der Praxis stabilisiert sich die Skala zwischen ihrer anfänglichen Ablesung von 0 und seine maximale Lesung von 2 M , zum Durchschnitt davon, M , wie erwartet).

Die Steifigkeit der Feder ist somit

k = R G ( R − 2 M ) 2 M H

Da die aufgestellten Hypothesen so unrealistisch sind, sollten wir jedes Ergebnis mit großer Vorsicht betrachten und gegenprüfen; vielleicht durch Reduzieren H , oder besser durch den Versuch zu messen, wie stark die Waage unter einem bestimmten Gewicht nach unten geht (das wäre schwer zu messen, aber der größte Teil des Fehlers stammt von dieser Messung und ist daher zuverlässig begrenzt). Obendrein tritt ein relativer Fehler auf R führt zwangsläufig zu einem mehr als doppelt so großen relativen Fehler k , immer viel schlimmer, wenn R ist weniger als ein paar Mal M .

Lösen der Gleichung für R > 0 wir bekommen

R = M + M 2 + 2 M k H G

Wenn wir einstecken k = 98100 N/m (das heißt, die Skala geht nach unten 1 cm für das Gewicht einer Masse von 100 kg) erhalten wir einen Messwert R = 321 kg. Meine frühere mechanische Personenwaage hatte diese Anzeige nicht (und ich bin zuversichtlich, dass sie eine steifere Feder hatte, was zu einer noch größeren Anzeige führte R ); Dies bestätigt, dass die Methode in der Praxis nicht verwendet werden kann , es sei denn, die Feder ist ungewöhnlich weich: Wenn wir es schaffen k = 9810 N/m bekommen wir R = 105 kg.

Mit diesen späteren weichen Federparametern ergibt sich die in der anderen Antwort gemachte Näherung k im Überschuss durch + 10 % (es ist schwer zu sagen, ob das im Vergleich zu anderen Fehlerquellen eine Rolle spielt). Härteste Feder, höher H , oder niedriger M , machen Sie diese Annäherung näher an den theoretischen Wert, den wir in der vorliegenden Antwort erhalten.

Update : Ein weiterer Grund, warum die Methode in der Praxis nicht angewendet werden kann, ist, dass wir, abgesehen von ungewöhnlich weichen Federn, nicht genug Zeit zum Lesen haben werden R , da die Feder so wenig Zeit zusammengedrückt bleibt (nur ein kleiner Bruchteil der Fallzeit, und dieser Bruchteil verringert sich mit den steifsten Federn). Ferner impliziert die aufgestellte Hypothese, dass die Feder die Masse in einem Rückprall nach oben drückt und sie zurück in die Höhe wirft H ; aber in Wirklichkeit wird der Rückprall der Masse viel geringer sein, wobei ein Großteil der entsprechenden Energie vom Waagenmechanismus und der Oberfläche und der Masse selbst absorbiert wird, wenn wir davon ausgehen, dass es keinen solchen Verlust gibt.

@Verpflegung: R G = k X geht es nur um den Maßstab; jederzeit die Anzeige der Waage R ist proportional zur Verschiebung der Waage X , und die Kombination aus Feder und Mechanismus der Waage ist so, dass diese Gleichung gilt, sodass der Messwert der Waage (im Gleichgewicht) die Masse dessen angibt, was darauf ist. G ist die vom Hersteller der Waage angenommene Erdanziehungskraft (oder Kalibrierung).
@Rations: Wenn Sie vorsichtig eine Masse legen M direkt über der Skala, und lassen Sie es von dort fallen, die Skala oszilliert zunächst zwischen 0 Und 2 M . Erst nach der Dämpfung (und einem gewissen Energieverlust) erhalten Sie einen Messwert M .
Ein Gewicht auf eine Federwaage fallen lassen
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 3v