Atwood-Maschine mit Feder

Question

Atwood-Maschine mit Feder

Denver Dang

Ich fange gerade an, etwas über die Lagrange-Mechanik zu lernen, und ich werde gebeten, die kinetische Energie dieser Atwood-Maschine zu finden (siehe Abbildung).

Atwood-Maschine

Mir wurde gesagt, dass die kinetische Energie sein sollte:

T = 2 M {\dot{X}}^{2} + \frac{1}{2} M {\dot{j}}^{2} - M \dot{X} \dot{j}

$T=2m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-m\dot{x}\dot{y}$

Mir wird auch gesagt, dass die Bewegung so langsam ist, dass die Feder immer gespannt ist, und $x$ Und $y$ sind meine verallgemeinerten Koordinaten.

Was also tun? Mein erster Gedanke war, dass, da die Feder immer gedehnt ist, alle Massen voneinander abhängig sind, und ich könnte es vielleicht als ganze Saite mit einer Masse links und zwei rechts betrachten. Aber das gab mir nicht die richtige Antwort. Also hatte ich gehofft, jemand könnte mir einen Tipp geben oder so?

Tim Gutmann

Haben Sie versucht, einen Ausdruck für die potentielle Energie zu schreiben (da Sie bereits kinetische Energie haben) und dann die Euler-Lagrange-Gleichung zu verwenden?

Denver Dang

Nein, aber die nächste Frage in dieser Aufgabe soll zeigen, dass die potentielle Energie ein Ausdruck ist. Also vermute ich, dass ich keine Problemumgehungen machen darf :)

Tim Gutmann

Ah, ich verstehe. Normalerweise schreiben Sie für diese Probleme

L = T - V

$L = T - V$ und verwenden Sie Euler-Lagrange, aber dies ist nur Teil 1. Ich habe Ihnen in meiner Antwort einen Überblick gegeben, wie es geht, während ich versuche, nicht das Ganze zu verraten.

Brian Motten

Ich denke, wenn es heißt, dass die Feder immer gedehnt ist, bedeutet das nicht, dass die Federlänge konstant ist, es bedeutet nur, dass die Federlänge niemals Null wird.

Antworten (1)

Atwood-Maschine mit Feder

Haben Sie versucht, einen Ausdruck für die potentielle Energie zu schreiben (da Sie bereits kinetische Energie haben) und dann die Euler-Lagrange-Gleichung zu verwenden?
Nein, aber die nächste Frage in dieser Aufgabe soll zeigen, dass die potentielle Energie ein Ausdruck ist. Also vermute ich, dass ich keine Problemumgehungen machen darf :)
Ah, ich verstehe. Normalerweise schreiben Sie für diese Probleme $L = T - V$ und verwenden Sie Euler-Lagrange, aber dies ist nur Teil 1. Ich habe Ihnen in meiner Antwort einen Überblick gegeben, wie es geht, während ich versuche, nicht das Ganze zu verraten.
Ich denke, wenn es heißt, dass die Feder immer gedehnt ist, bedeutet das nicht, dass die Federlänge konstant ist, es bedeutet nur, dass die Federlänge niemals Null wird.

Tim Gutmann · Answer 1

Tim Gutmann

Ich denke, Sie sollten zuerst die kinetische Energie jedes Blocks mit ausdrücken $\frac{1}{2} m v^2$ , Wo $v$ ist die Geschwindigkeit des Blocks. Dann fassen Sie diese einfach zusammen. Es sieht so aus, als ob für zwei der Blöcke die Geschwindigkeit gilt $\dot{x}$ , und für einen von ihnen ist die Geschwindigkeit $\dot{x} - \dot{y}$ . Denken Sie daran, dass für einen der Blöcke die Masse steht $2m$ .

Denver Dang

Okay, ich denke, ich könnte es jetzt haben. Der große Bob ist

m {\dot{x}}^{2}

$m\dot{x}^{2}$ , der kleine und erste Bob ist

\frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2}

$\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}$ seit

x

$x$ Und

y

$y$ ist in diesem Fall voneinander abhängig. Aber ich bin mir nicht sicher, ob ich ganz verstehe, warum der letzte Bob ist

\frac{1}{2} m (\dot{x} - \dot{y})^{2}

$\frac{1}{2}m(\dot{x}-\dot{y})^{2}$ ? Oder vielleicht liegt das daran, dass die letzten Bob tatsächlich haben

\frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2}

$\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}$ und der zweite bob hat das obige ? Das würde in der Tat mehr Sinn machen, aber vielleicht irre ich mich?

Tim Gutmann

Der letzte Bob ist

\frac{1}{2} m (\dot{x} - \dot{y})^{2}

$\frac{1}{2}m(\dot{x}-\dot{y})^{2}$ denn wenn sich der große Bob bewegt

Δ x

$\Delta x$ , dann bewegt sich die Saite

Δ x

$\Delta x$ , aber die Feder kann sich durch dehnen

Δ y

$\Delta y$ um den letzten Bob weniger bewegen zu lassen. Vielleicht wird es klarer, wenn Sie sich vorstellen, was passieren würde, wenn

x

$x$ Und

y

$y$ mit der gleichen Rate erhöht: Der Bob ganz rechts sollte dann stationär sein, oder?

Denver Dang

Ich glaube, ich habe es jetzt. Ich könnte durch die Aussage "String ist immer gedehnt" verwirrt worden sein, wo ich nur dachte, dass es die ganze Zeit konstant war. Aber der Herr oben hat es etwas klarer gemacht. Danke euch beiden :)

Tim Gutmann

Ja, diese Zeile war etwas irreführend.

Atwood-Maschine mit Feder

Denver Dang

Tim Gutmann

Denver Dang

Tim Gutmann

Brian Motten

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Tim Gutmann

Denver Dang

Tim Gutmann

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Tim Gutmann

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