Wenn die Saite nur durch Gewicht gedehnt wird, wohin geht die potentielle Gravitationsenergie, wenn nur die Hälfte in elastische potentielle Energie umgewandelt wird?

Wenn Sie das Gewicht anbringen und fallen lassen, wird es fallen und kinetische Energie gewinnen, den Gleichgewichtspunkt überschreiten, langsamer werden, die Richtung ändern und dann immer wieder radeln. Damit es überhaupt ins Gleichgewicht kommt, muss die Energie als Wärme über Luftwiderstand, Reibung in der Feder usw. abgeführt werden.

Dies ist eine subtile Angelegenheit. Der Block muss sich quasi statisch bewegen, um seine kinetische Energie Null zu halten, und aus diesem Grund bräuchten wir eine externe Kraft F. Diese Kraft wird auch negative Arbeit auf den Block leisten und seine Änderung in GPE um die Hälfte reduzieren, die in gespeichert ist der Frühling. Wenn der Prozess nicht quasistatisch wäre, hätte der Block nach einer gewissen Strecke eine Geschwindigkeit, und Ihre Frage ist beantwortet, da Sie dann auch die kinetische Energie nehmen müssen. Beachten Sie, dass F keine konstante Kraft ist, da sie sowohl der Wirkung der Schwerkraft als auch der sich ändernden Federkraft entgegenwirken muss.

Schau dir die Kraft an$F$gegen Erweiterung$x$Diagramm für eine Feder.
Es ist ein gerader Liniengraph durch den Ursprung des Gradienten$k$die Federkonstante und$F=kx$.
Die Arbeit, die von der externen Kraft geleistet wird$F$um die Feder aus dem Nichtausdehnen zu verlängern,$x=0$bis es eine Verlängerung hat$x_o$Ist$\displaystyle \int_0^{x_o} F dx = \int_0^{x_o} kx \;dx = \frac 1 2 k x^2$
Anders ausgedrückt.
Die durchschnittliche Kraft während der Verlängerung ist$\dfrac {kx_o} {2}$und so ist die Arbeit, die von der äußeren Kraft verrichtet wird$\dfrac {kx_o} {2} \; x_o = \dfrac {kx_o^2} {2}$

Jetzt, wenn Sie eine Masse hinzufügen$m$bis zum Ende der Feder hat diese Masse ein konstantes Gewicht$mg$und kann so möglicherweise eine konstante Kraft auf die Feder ausüben.
Sie können die oben durchgeführte Analyse mit einer Kraft auf die Feder replizieren, die sich mit der Ausdehnung der Feder ändert, indem Sie eine nach oben gerichtete Kraft anwenden$F_{up}$auf die Masse, so dass die Nettokraft auf die Feder ausgeübt wird$F = mg - F_{up}$und Sie erhalten dann, dass die Energie in der Feder gespeichert ist$\dfrac 1 2 k x^2$wie die an der Feder geleistete Arbeit ist$\displaystyle \int_0^{x_o} (mg - F_{up}) \; dx = mg\;x_o + \left[ - \int_0^{x_o} F_{up} \; dx \right ]$

Der erste Term ist die von der Gravitationskraft verrichtete Arbeit und der zweite Term die an der Kraft verrichtete Arbeit$F_{up}$

Wenn die Kraft$F_{up}$ist dann nicht vorhanden$mg$funktioniert wieder$mgx_o$aber jetzt die masse$m$beschleunigt sich seitdem$mg > kx$und beschleunigt weiter bis$mg=kx_o$wenn die Nettokraft auf die Masse Null ist.
Obwohl dies der statische Gleichgewichtszustand in Bezug auf Kräfte ist, bewegt sich die Masse, nachdem sie kinetische Energie gewonnen hat$\dfrac 1 2 k x_o^2$während seines Abstiegs fährt er fort, bis er schließlich beim Ausfahren stoppt$x = 2 x_o$.
In Bezug auf Energie hat die Feder eine potenzielle Energie von gespeichert$\dfrac 1 2 k (2x_o)^2 = 2 kx_o^2$darin und die von der Gravitationskraft verrichtete Arbeit ist$mg\;2x_o = 2 kx_o^2$.

Es ist also keine Energie verloren gegangen.

Würde man das Feder-Masse-System in Ruhe lassen und keine dissipativen Kräfte wirken, würde die Masse um die statische Gleichgewichtslage schwingen$x=x_o$für immer.

In der Praxis würde die Masse bei vorhandenen Reibungskräften eine gedämpfte harmonische Bewegung durchlaufen und schließlich mit Energie in der statischen Gleichgewichtsposition stationär bleiben$\dfrac 12 k x_o^2$als Wärme abgeführt.