Gibt es physikalische Größen, deren Einheiten durch n-te Wurzeln, Logarithmen, Sünden usw. von SI-Einheiten definiert werden?

Es gibt einige physikalisch sinnvolle Größen, deren Einheiten einen halbzahligen Exponenten enthalten, typischerweise in Beispielen, in denen die betreffende Größe zu einer Art Intensität oder Dichte quadriert werden muss.

• Am deutlichsten sind quantenmechanische Wellenfunktionen$\psi$, für die der quadratische Modul$|\psi|^2$ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte (dh mit Einheiten der inversen Länge in 1D oder inversen Volumen in 3D), so dass Sie haben werden$[\psi(x)]=[L^{-1/2}]$in 1D und$[\psi(\mathbf r)]=[L^{-3/2}]$in 3D.

• Sie sehen die Einheit sehr oft$\mathrm{Hz}^{-1/2}$in jedem Bereich, der eine Signalanalyse in irgendeiner Weise erfordert, wo es sich natürlich als eine Möglichkeit herausstellt, Amplitudenspektraldichten vieler Arten zu beschreiben. Dies geschieht, wenn Sie ein Signal haben$f(t)$(z. B. in dimensionsloser Dehnung) und Sie interessieren sich für seine Fourier-Transformation, dh Sie möchten darstellen$f(t) = \int_{-\infty}^\infty \tilde f(\omega) e^{-i\omega t} \mathrm d\omega$Sodass$\int_{\omega_1}^{\omega_2} |\tilde f(\omega)|^2 \mathrm d\omega$stellt die Leistung dar, die das Signal in diesem Spektralband trägt.

  Ein schönes aktuelles Beispiel dafür sind die Rauschempfindlichkeitskurven für LIGO und andere Gravitationswellendetektoren als Funktion der Frequenz:

  

  ^Bildquelle

Wenn Sie über halbzahlige Potenzen hinausgehen möchten, in richtige$n$th-Wurzeln, dann steht Ihnen im Prinzip nichts mehr im Weg, aber die Chancen, physikalisch sinnvolle Beispiele zu finden, sinken dramatisch, weil die Physik dazu neigt, viel häufiger quadratische Formen ihrer dynamischen Variablen zu verwenden, als Sie kubische oder andere multilineare Abhängigkeiten sehen . Mir sind keine realen Beispiele bekannt, aber sie sind durchaus möglich.

Die Dinge ändern sich jedoch, wenn Sie sich von rationalen Funktionen (dh Kombinationen gebrochener Potenzen) zu transzendentalen Funktionen (wie den Exponential-, Logarithmus- und trigonometrischen Funktionen) bewegen , die nur durch Prozesse, die eine Größe addieren oder vergleichen, sinnvoll definiert werden können$x$mit einer Kraft$x^n$von derselben Menge. Wie ich in diesem vorherigen Thread erklärt habe , bricht dies die Dimensionsanalyse vollständig, und es ist nicht sinnvoll, dimensionale Größen als Argumente für transzendente Funktionen zu verwenden.

(Es gibt eine kleine, teilweise Ausnahme mit dem speziellen Fall des Logarithmus, wo Sie einen Logarithmus der Form "aufteilen" können$\log(q_1/q_2)$in eine Subtraktion$\log(q_1)-\log(q_2)$unter der strengen Anforderung, dass alle Erscheinungen von$\log(q)$gefolgt von einem entsprechenden${-}\log(q')$mit$[q']=[q]$, und dass beide Vorkommen den Logarithmus des Zahlenwerts in denselben Einheiten nehmen. Dies ist nützlich, wenn Sie sich nur um Dinge bis zu einer additiven (oder multiplikativen) Konstante kümmern, aber letztendlich läuft es auf einen ausgefeilten Formalismus hinaus, mit dem Sie umgehen müssen$\log(q_1/q_2)$, also den Logarithmus einer dimensionslosen Größe, so dass man diese Tatsache vergessen kann.)

Bearbeiten: Die folgende Antwort ist sicherlich verdächtig. Lesen Sie die Kommentare darunter und folgen Sie dem von dmckee bereitgestellten Link.

Es macht keinen Sinn, die Sinus-, Log- oder Exponentialfunktion einer Einheit oder irgendetwas mit Einheiten zu berücksichtigen. Eine Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, zu beachten, dass diese Funktionen alle als Taylor-Reihen erweitert werden können. Zum Beispiel,

Normalerweise macht es keinen Sinn, etwas anderes als eine einheitslose Eingabe in eine transzendente Funktion zu stecken. Wie in dieser Frage besprochen , ist es jedoch sinnvoll, Mengen mit Einheiten zu protokollieren. Das Ergebnis ist, dass Sie eine additive Konstante erhalten, die von der Wahl der Einheiten abhängen würde, und diese Konstante ist oft nicht von Interesse. Das klassische Beispiel wäre die Verwendung der Steigung eines logarithmischen Diagramms, um den Exponenten in einem Potenzgesetz zu finden. Die Einheiten des Eingangs werden jedoch nicht an den Ausgang weitergegeben. Wenn Sie also zum Beispiel die logarithmische Basis 10 von 100 kg nehmen, erhalten Sie 2 plus eine Konstante, aber die 2 hat keine Einheit von log-Kilogramm. Die Wahl der Kilogramm ist in der additiven Konstante vorhanden. Daher gibt es keine Einheit von "Log-Kilogramm".

Wurzeln werden ständig in Einheiten verwendet. Zum Beispiel unterrichte ich ein Labor, in dem wir Bälle aus ungleichen Höhen fallen lassen$h_1$Und$h_2$und messen Sie die Zeit zwischen den beiden Treffern, um zu messen$g$mit ziemlich guter Präzision. Der Ausdruck für$g$beinhaltet die Menge$\sqrt{h_1}-\sqrt{h_2}$.